개념 한 쪽
교통량이 무작위로 도착하는 상황에서는 포아송 분포와 그에 수반하는 차두시간 분포를 사용하여 특정 시간 구간 내 발생 확률을 추정한다. 단위 시간 변환으로 평균 도착률 λ를 정확히 계산하는 것이 핵심이며, 이를 바탕으로 포아송 확률 또는 차두시간의 초과확률을 구한다.
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출제기준 단원 「무작위 변수 및 통계적 추정의 문제」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단위 환산 후 포아송 확률 계산 | 1 | 시간당 도착률을 구간으로 환산해 포아송 확률을 계산하기 |
| 짧은 시간 구간의 포아송 확률 계산 | 1 | 초 단위 구간에서 λ를 구하고 특정 개수 도착 확률을 구하기 |
| 포아송에 따른 차두시간 초과확률 | 1 | 평균차두시간을 구해 지수분포로 초과확률을 계산하기 |
교통류의 도착이 우연하고 서로 영향을 미치지 않을 때, 특정 시간 동안 발생하는 사건 수는 포아송 확률모형으로 설명할 수 있다. 포아송 분포의 확률질량함수는 P(X=k)=(e^-λ·λ^k)/k!로 주어지며, 여기서 λ는 관심 구간에 대한 평균 발생 횟수이다. λ는 항상 단위시간당 평균 발생률을 구간 길이로 곱하여 산출한다.
문제 풀이에서는 시간 단위 통일이 필수적이다. 예를 들어 시간당 도착량이 주어지면 초나 분으로 바꾸어 해당 구간의 λ를 구해야 한다. λ 계산 오류나 팩토리얼 계산 실수가 오답의 주된 원인이므로 단계별로 확인하는 절차가 중요하다.
포아송 도착과 연관된 차두시간(두 연속 차량 간 시간간격)은 음지수분포, 즉 지수분포를 따른다고 본다. 지수분포의 초과확률은 P(T>t)=e^(-t/평균차두시간) 형태로 계산한다. 평균차두시간은 단위시간을 단위 발생횟수로 나눈 값으로 환산하여 사용한다.
실전 문제는 단위 환산과 공식을 정확히 대입하는 능력을 묻는다. 여러 예제에서 동일한 원리를 반복 적용하므로, λ 도출 절차와 포아송·지수분포의 기본식만 확실히 숙지하면 문제 해결이 가능하다.
예1) 시간당 평균 360대일 때 20초 구간의 λ를 구한다. 1초당 평균은 360÷3600=0.1대이므로 20초 구간의 λ=0.1×20=2가 된다. 포아송 확률 P(4)=e^-2·2^4/4!를 계산하면 약 0.090이 된다.
예2) 시간당 평균 600대일 때 30초 구간의 λ를 구한다. 분당 평균은 600÷60=10대이므로 30초(0.5분) 구간의 λ=10×0.5=5가 된다. 포아송 확률 P(4)=(5^4·e^-5)/4!를 계산하면 약 0.175가 된다.
예3) 단위시간당 평균 도착률이 주어졌을 때 차두시간의 초과확률을 구하려면 평균차두시간을 먼저 구한다. 예컨대 6대/분이면 평균차두시간은 60÷6=10초가 되고, 20초 초과확률은 e^(-20/10)=e^-2≈0.135가 된다.
교통량이 180(대/시)라고 한다. 한 시간내에 도착하는 자동차 대수가 poisson 분포를 따른다고 가정할때, 1분간에 4대의 자동차가 도착할 확률은 얼마인가?
정답 ③ · 시간당 180대가 도착하므로, 1분당 평균 도착 대수(λ)는 180/60 = 3대가 됩니다. 이때 푸아송분포 공식 P(x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!
푸아송분포 P(x)=(e^-λ·λ^x)/x!에서 시간당 180대는 분당 λ=3이므로, x=4일 때 약 0.168이다.
어떤 도로상에서 시간당 평균 도착 교통량이 360대 일 경우, 20초 동안에 4대가 도착할 확률은?
정답 ④ · 문항은 시간당 평균 도착률이 360대인 상황에서 20초 구간에 4대 도착할 확률을 포아송 분포로 구하라고 요구하고 있다. 단위 환산으로 λ는 (360대/3600초)×20초=2가 되고 포아송 확률은 P(4)=e^-2·2^4/4!
포아송 분포를 사용하여 평균 도착률과 시간 구간을 곱해 평균 도착 차량 수를 구한 후 확률을 계산한다.
고속도로의 특정 지점에서 무작위로 도착하는 차량 교통량이 600대/시 일 경우, 향후 30초 동안 4대의 차량이 도착할 확률은?
정답 ② · 문제는 단위 시간당 평균 도착량이 주어질 때 특정 시간 동안 정확한 도착수에 대한 포아송 확률을 구하는 것이다. 시간당 평균 λ=600대/시이므로 30초간 평균 λ_t는 600×(30/3,600)=5가 된다.
포아송 분포를 이용하여 단위 시간당 평균 도착 차량 수를 기반으로 특정 시간 내 차량 도착 확률을 계산한다.
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