개념 한 쪽
교통류의 도착과 간격을 다루는 확률모형은 두 가지 축으로 이해한다: 단위 시간당 도착 대수를 다루는 계수분포와 차량 간 시간 간격을 다루는 간격분포를 구분하여 적용한다.
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출제기준 단원 「확률식의 개요」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 포아송 확률 계산 | 1 | 주어진 단위 시간 평균을 단위 시간에 맞춰 변환한 뒤 포아송 공식을 대입하여 특정 도착수 확률을 계산한다 |
| PDF 정의와 해석 | 1 | 피크 1시간 교통량을 일평균교통량으로 나누어 PDF의 의미와 변화 요인을 설명한다 |
| 간격분포 선택 | 1 | 차량 간의 시간 간격을 다룰 때 지수분포(음지수)를 적용하는지 판단한다 |
임의 도착 교통류에서는 단위 시간당 도착 대수는 포아송분포를 따른다고 본다. 포아송분포는 주어진 평균 λ에 대해 이산확률로 특정 횟수 x가 발생할 확률을 P(x) = (λ^x e^-λ) / x!로 계산한다.
포아송 도착과 관련하여 차량 간의 시간 간격은 음지수분포(지수분포)를 따른다고 본다. 지수분포는 연속형 분포로서 차두간격이나 최초 도착까지 걸리는 시간 등 '간격'을 다룰 때 사용한다.
각 계수·간격분포의 적용 예를 구분하여 기억한다: '몇 대가 오는가'를 묻는 문제에서는 포아송분포를, '두 차량 사이 시간이 얼마인가' 또는 '특정 시간 내에 한 대도 오지 않을 확률'을 묻는 문제에서는 지수(음지수)분포를 적용한다.
교통량의 집중도를 나타내는 지표로 PDF(피크-데일리-팩터)와 PHF(피크아워팩터)가 있다. PDF는 피크 1시간 교통량을 일평균교통량으로 나눈 값으로 피크 집중도를 나타낸다. PHF는 1시간 총 교통량을 15분 첨두교통량의 4배로 나눈 값으로 같은 시간 안의 변동성을 나타내며 일반적으로 1.0 이하이다.
속도분포에서는 85% 속도가 대다수 차량이 주행하는 속도로 간주되며 안전 기준 속도로 보고 교통 운영 기준에 반영한다.
포아송 과정에서 λ와 x가 같을 때의 확률은 대표적으로 약 0.089 값을 보이는 사례가 자주 등장한다는 점을 확인한다.
어느 주차장에 도착하는 차량의 교통량이 360대/시간일 경우 이 주차장에 1분당 3대가 도착할 확률은?
정답 ① · 이 문제는 단위 시간당 도착률을 포아송분포로 계산하도록 되어 있으나 지문의 단위 변환이나 숫자 해석에 오류가 있어 경고가 붙어 있다. 시간당 360대라면 분당 평균 λ는 6이므로 분당 3대가 도착할 확률은 포아송 P(3)=e^{-6}6^3/3!로 계산되어 약 0.089이 된다.
포아송 분포를 사용하여 시간당 6대(분당 0.1대)의 평균 도착률로 1분당 3대 도착 확률을 계산한다.
피크 1시간 교통량을 일평균 됴통량으로 나눈 값인 PDF 계수에 대한 설명으로 맞는 것은?
정답 ③ · 문항은 PDF 계수(피크 1시간 교통량을 일평균 교통량으로 나눈 값)에 대한 성질을 묻고 있다. PDF는 특정 시간대의 집중도를 나타내며, 교통량이 도로시설의 증가보다 빠르게 증가하면 피크 집중도가 분산되어 PDF 값이 감소할 수 있다.
PDF는 피크시간교통량÷일평균교통량이며, 교통량 증가가 빠르면 감소한다.
임의로 도착하는 차량간의 간격을 계산할 때 이용되는 확률분포 모형은?
정답 ② · 교통류에서 차량의 도착이 임의적이고 독립적인 포아송 분포를 따를 때, 차량 간의 '시간 간격(headway)'은 연속적인 확률분포인 음지수분포(Negative Exponential Distribution)를 따르게 됩니다. 포아송 분포는 단위 시간당 도착하는 차량의 '대수'를 계산하는 데 쓰이고, 음지수 분포는 두 차량 사이의 '시간 간격'을 확률적으로 모델링할 때 이용됩니다.
임의 도착 차량의 '시간 간격'은 음지수분포를 따르며, 단위 시간당 '도착 대수'는 포아송분포를 따릅니다.
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