개념 한 쪽
전기공사기사 특성방정식의 근 — 감쇠비와 극점 배치
특성방정식의 근 세트는 안정성 지표에 대한 설명, 2차 계의 K 범위, 단위 피드백 계의 특성방정식 도출, 3차 계의 k 범위, 나이퀴스트 선도의 이득여유·위상여유 판정, 감쇠비가 1/√2일 때의 폐루프 극점, 안정한 임펄스 응답, 감쇠진동의 제동비, 나이퀴스트 판정의 기준점, 보드선도의 안정 조건을 묻는다.
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뜻
시스템의 안정성은 주로 위상여유와 이득여유 같은 지표로 본다. 위상이 더 지연되면 안정성이 떨어지므로 위상 변화를 모호하게 서술한 선지는 결론이 틀어지기 쉽다.
2차 시스템은 모든 계수가 양수이면 안정이 보장된다. s²+Ks+2K−1에서는 상수항 2K−1>0이 결정적이므로 K>1/2이 필요하다. 감쇠진동은 제동비 ζ가 0과 1 사이일 때 나타난다.
단위 피드백 계의 특성방정식은 1+G(s)=0에서 나온다. G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3))이면 분모를 없애 (s+1)(s+3)+(s+2)=0을 만들고, 정리하면 s²+5s+5=0이다.
3차식은 계수가 모두 양수이면서 곱의 관계를 만족해야 한다. s³+34.5s²+7500s+7500k=0에서는 34.5×7500>7500k이므로 0<k<34.5다.
감쇠비가 정해지면 폐루프 극점의 위치가 정해진다. 단위 피드백에서 G(s)=K/{s(s+4)}이면 폐루프 전달함수는 K/(s²+4s+K)이고, 표준형 s²+2ζωn s+ωn²과 비교해 2ζωn=4에 ζ=1/√2를 넣으면 ωn=2√2, K=8이다. 특성방정식 s²+4s+8=0의 근은 s=−2±j2다.
안정한 계는 임펄스 응답이 시간이 지나면 없어지는 감쇠 형태라 전체를 적분해도 값이 유한하다. 진동하더라도 감쇠하는 사인파는 안정하고, 계속 유지되거나 커지는 함수는 불안정하다.
나이퀴스트 판정은 주파수 응답 곡선이 평면상의 점 (−1, 0)을 몇 번 둘러싸는지로 안정성을 판단한다. 보드선도에서는 이득여유 gm과 위상여유 øm이 둘 다 양수이면 안정하게 여유가 있다고 본다. 나이퀴스트 선도에서 이득여유 4~12dB, 위상여유 30~40°도 두 여유가 양수이므로 안정이다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 범위형 — 2차는 상수항 양수(K>0.5), 3차는 a₂a₁>a₀(0<k<34.5)를 쓴다. ② 도출형 — 단위 피드백은 1+G=0을 정리하고, ζ가 주어지면 계수 비교로 K와 극점을 구한다. ③ 판정형 — 나이퀴스트는 (−1, 0)점, 보드선도는 두 여유의 부호를 본다.
자주 묻는 물음
- s²+Ks+2K−1이 안정하기 위한 K의 범위는?
- 모든 계수가 양수여야 하므로 상수항 2K−1>0에서 K>1/2입니다.
- G(s)=K/{s(s+4)}인 단위 피드백 계에서 ζ=1/√2가 되도록 하면 폐루프 극점은?
- K=8이 되고 특성방정식 s²+4s+8=0의 근인 s=−2±j2입니다.
- 나이퀴스트 판정의 기준점은?
- 복소평면의 (−1, 0)점입니다. 주파수 응답 곡선이 이 점을 몇 번 둘러싸는지로 안정성을 판단합니다.
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