개념 한 쪽
원형 단면축에 비틀림 모멘트가 작용하면 전단응력이 발생하며, 그 크기는 비틀림 모멘트와 단면 형상에 의해 결정된다. 극단면계수와 극관성모멘트가 중요한 역할을 하므로 공식의 비례·반비례 관계를 정확히 이해해야 한다.
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출제기준 단원 「단면계수와 비틀림 모멘트」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 최대 전단응력 계산 | 1 | 주어진 토크와 지름으로 원형 축의 최대 전단응력을 구하는 계산 능력을 묻는다 |
| 비틀림 모멘트 계산 | 1 | 전단응력과 단면계수를 이용해 비틀림 모멘트를 계산하는 절차를 묻는다 |
| 공식의 비례관계 판정 | 1 | 비틀림 공식에서 변수들 간의 비례·반비례 관계를 판별하는 개념 이해를 묻는다 |
원형 축에 작용하는 최대 전단응력은 비틀림 모멘트와 극단면계수 또는 극관성모멘트를 이용한 공식으로 표현한다. 대표식은 τ_max = T/Z_p 또는 τ = T·r/J로 표기한다. 비틀림 모멘트 T에는 응력이 비례하고 단면계수 Z_p 또는 극관성모멘트 J에는 반비례한다.
극단면계수 Z_p는 원형 단면의 경우 π·d³/16로 표현한다. 극관성모멘트 J는 π·d⁴/32 또는 r⁴·π/2 등으로 계산한다. 따라서 단면 지름이 증가하면 Z_p와 J가 증가하고 결과적으로 같은 토크에서 발생하는 전단응력과 비틀림 각은 감소한다.
비틀림 각도 θ는 θ = (T·L)/(G·J)로 주어지므로 비틀림 모멘트 T와 길이 L에 비례하고 전단탄성계수 G와 극단면 2차모멘트 J에 반비례한다. 원형 단면의 J가 d⁴에 비례하므로 비틀림 각은 지름의 4제곱에 반비례한다.
문제 풀이에서는 단위를 맞추어 계산식에 대입하는 것이 중요하다 한다. 전단응력과 모멘트, 단면계수 간 관계를 먼저 정리하고 분자·분모의 비례관계를 이용해 보기들을 빠르게 판정하는 방법이 유효하다 한다.
예제 1 — 최대 전단응력 계산: 주어진 값 T = 3000 N·mm, d = 10 mm에서 반지름 r = 5 mm이고 극관성모멘트 J는 원형 단면 공식으로 약 981.75 mm⁴가 된다. τ = T·r/J에 대입하면 τ ≈ 3000×5/981.75 ≈ 15.28 N/mm²가 된다. 이 과정에서 반지름과 극관성모멘트 공식을 올바르게 적용하는 것이 핵심이다.
예제 2 — 비틀림 모멘트 계산: 지름 d = 10 cm(=0.1 m), 최대 전단응력 τ = 6 MPa(=6×10⁶ N/m²)인 경우 Z_p = π·d³/16을 사용하여 Z_p ≈ 0.0001963 m³를 구하고 T = τ·Z_p에 대입하면 T ≈ 6×10⁶ × 0.0001963 ≈ 1178 N·m가 된다. 단위 환산을 정확히 수행하는 것이 중요하다 한다.
3000N-mm의 비틀림 모멘트가 작용하는 지름 10mm 환봉축의 최대 전단응력은 약 몇 N/mm² 인가?
정답 ② · 문항은 3000 N·mm의 토크가 작용하는 지름 10 mm 원축의 최대 전단응력을 계산하는 문제이다. 원형 축의 최대 전단응력은 τ_max = 16T/(πd^3)을 사용하여 계산하면 τ_max = 16×3000/(π×10^3) ≈ 15.28 N/mm²가 된다.
원형 단면 축의 최대 전단응력은 '비틀림 모멘트×반지름÷극관성모멘트' 공식으로 계산하며, 지름 10mm에서 약 15.28 N/mm²이다.
지름이 10cm인 축에 6MPa의 최대 전단응력이 발생했을 때 비틀림 모멘트는 약 몇 Nㆍm인가?
정답 ④ · 비틀림 모멘트(T)는 전단 응력(τ)과 단면 계수(Zp)의 관계식 T = τ × Zp 를 통해 구할 수 있습니다. 원형 축의 단면 계수 Zp = π × d³ / 16 이며, 지름 d = 10cm = 0.1m, 최대 전단 응력 τ = 6MPa = 6 × 10^6 N/m² 입니다.
비틀림 모멘트 T=τ×Zp, Zp=πd³/16이므로 T=6×10⁶×(π×0.1³/16)≈1178N·m이다.
비틀림 모멘트를 받는 원형 단면축에 발생되는 최대전단응력에 관한 설명으로 옳은 것은?
정답 ① · 원형 단면축이 비틀림 모멘트를 받을 때 발생하는 최대 전단응력 τ_max는 τ_max = T / Z_p (T: 비틀림 모멘트, Z_p: 극단면계수) 공식으로 계산됩니다. 극단면계수 Z_p는 단면의 극관성 모멘트를 반지름으로 나눈 값으로, 축의 지름이 커지면 극단면계수 역시 커집니다.
최대 전단응력은 비틀림 모멘트를 극단면계수로 나눈 값으로, 지름 증가 시 극단면계수가 커져 응력이 감소한다.
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