개념 한 쪽
보의 굽힘응력과 처짐 문제는 재료역학에서 빈번히 출제되는 기본 유형이다. 원형 단면과 직사각형 단면에 대해 모멘트, 단면계수, 관성모멘트를 적절히 적용하면 응력과 치수를 구할 수 있다. 단위 통일과 공식의 계수 확인이 정답을 좌우한다.
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출제기준 단원 「보의 종류 및 반력」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 원형단면 굽힘응력 계산 | 1 | 원형 단면에 하중 또는 모멘트 주어질 때 σ 계산하기 |
| 개념 선택(재료 vs 형상) | 1 | 동일 재료·일정 단면에서 탄성계수 성질 판단하기 |
| 축 굽힘응력 계산 | 1 | 축의 지름과 모멘트로 굽힘응력 구하기 |
보의 최대 굽힘응력은 굽힘 모멘트 M과 단면계수 Z의 비 σ = M/Z로 표현한다. 원형 단면의 단면계수와 관성모멘트 관계에서 유도한 식은 문제 유형에 따라 자주 사용한다. 예를 들어 중앙에 집중하중 P가 작용하는 단순보에서는 최대 모멘트가 M = PL/4가 된다고 한다.
원형 단면을 다룰 때 자주 사용되는 식은 단면계수 Z = πd³/32 이며, 이를 M/Z에 대입하면 축 또는 원형단면 보의 굽힘응력 공식 σ = 32M/(πd³) 또는 하중·길이 표현을 사용해 σ = 8PL/(πd³)처럼 정리할 수 있다. 기본 풀이에서는 이들 식을 변환하여 사용한다.
단위 환산은 오답의 주요 원인이다. 길이 단위를 mm와 cm로 섞어 쓰면 d³ 항에서 큰 차이가 발생하므로 문제 제시 단위를 먼저 통일한다. 또한 중립축까지의 거리 y와 관성모멘트 I를 이용해 Z = I/y로 계산하는 방식이 직사각형이나 I형 단면 문제에서 유용하다.
처짐량은 굽힘과 별개로 자주 점검하는 항목이다. 단순보 중앙 집중하중의 최대 처짐은 δ = PL³/48EI, 균일분포하중의 최대 처짐은 δ = 5wL⁴/384EI로 주어진다. 처짐 공식에서는 길이의 고차항 지수와 E, I와의 반비례 관계를 분명히 이해해야 한다.
예제 1 — 단순보 중앙 집중하중의 최대 굽힘응력 계산 사례를 제시한다. 원형 단면 지름 d = 25mm, 길이 L = 2m(=2000mm), 하중 P = 400kgf일 때 공식을 σ = 8PL/(πd³)에 대입하면 σ = (8×400×2000)/(π×25³) ≈ 130.38 kgf/mm²가 되어 정답을 도출한다.
예제 2 — 축 굽힘응력 계산 사례를 제시한다. 지름 d = 80mm(=8cm), 굽힘모멘트 M = 20,000 kgf·cm일 때 공식을 σ = 32M/(πd³)에 대입하면 σ ≈ (32×20000)/(π×8³) ≈ 398 kgf/cm²가 되어 정답을 도출한다.
길이가 2 m 인 원형인 단순지지보의 지름이 25 ㎜ 일 때 보 중앙에 집중하중 400 ㎏f 이 작용하면 최대 굽힘응력은 몇 ㎏f/㎜2 인가?
정답 ④ · 문제는 단순지지보에 중앙 집중하중이 작용할 때 최대 굽힘응력을 계산하는 문제이다. 원형 단면의 굽힘응력식 σ = 8PL/(πd^3)을 사용하고 L=2000mm, P=400kgf, d=25mm를 대입하면 σ = (8×400×2000)/(π×25^3) ≈ 130.38 kgf/mm²가 되어 선택지 중 130.38이 정답이다.
단순보 중앙 집중하중의 최대굽힘응력은 σ=32PL/(πd³) 공식을 사용하여 계산한다.
동일재료로 단면의 크기(치수)가 일정한 보에 대한 설명으로 틀린 것은?
정답 ① · 문제는 동일 재료로 단면 크기가 일정한 보에 관한 설명 중 틀린 것을 묻고 있다. 탄성계수는 재료 고유의 물성으로 단면 형상이나 크기와 무관하게 일정하게 유지되므로 단면 크기 변화로 탄성계수가 변한다는 주장은 잘못된 진술이다.
동일재료의 균일 보에서 탄성계수는 재료 고유의 상수이므로 단면 크기 변화와 무관하게 일정하게 유지된다.
지름 80㎜인 축에 20000㎏f-㎝의 굽힘 모멘트가 걸린다면 이 축에 생기는 굽힘 응력은 약 몇 ㎏f/cm²인가?
정답 ① · 문제는 지름 80mm 축에 주어진 굽힘모멘트에서 굽힘응력을 계산하는 문제이다. 원형 단면의 단면계수 공식을 이용하여 σ = 32M/(π d³)로 계산하면 M=20000 kgf·cm, d=8 cm를 대입하여 약 398 kgf/cm²가 나온다.
굽힘 응력 σ=32M/(πd³) 공식을 이용해 약 398kgf/cm²를 계산한다.
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