전기공사기사 상태변수와 상태방정식 — PID 제어 동작과 과도응답

상태변수는 그 시점에서 시스템이 앞으로 어떻게 동작할지를 결정하는 데 필요한 정보다. 같은 시스템이면 좌표를 바꿔 상태방정식을 다른 형태로 써도 시간응답과 주파수응답은 달라지지 않는다. 상태방정식 X=AX+BU의 특성방정식은 |sI−A|=0이고, X(t)=AX(t)의 해는 X(t)=e^(At)X(0)다. 상태 천이행렬 e^(At)에 t=0을 넣으면 항등행렬 I가 된다.

제어 동작은 세 가지를 조합해 만든다. 비례 동작은 오차에 이득을 곱하고, 적분 동작은 과거의 오차를 계속 더해 정상 상태에서 남는 오차를 없앤다. 미분 동작은 오차가 얼마나 빨리 변하는지를 보고 반응해 진동을 줄이고 과도 응답을 개선한다. PID는 이 비례·적분·미분을 함께 써서 빠르게 목표값에 도달하고 남은 오차를 없애며 진동도 줄이려는 방법이다.

비례적분 제어계의 조작량은 비례 동작과 적분 동작을 더해 구한다. 적분시간 4초, 비례감도 4인 제어계에 동작신호 Z(t)=2t를 주면, 비례 항은 4×2t인 8t이고 적분 항은 (4÷4)×∫2t dt인 t²이므로 조작량은 t²+8t다.

과도응답에서는 지연시간, 오버슈트, 감쇠비, 정착시간 같은 용어를 쓴다. 지연시간은 출력이 처음으로 정상값의 50%에 도달하는 시간, 오버슈트는 목표값을 초과한 비율이다. 감쇠비는 시스템의 진동이 얼마나 빨리 사라지는가를 나타내는 수치이지 목표값과 최대값의 비가 아니다.

타이머에는 입력신호가 주어지면 바로 동작하고, 입력신호가 차단된 뒤 일정 시간이 지나서야 출력이 소멸되는 동작 형태가 있다. 입력에는 즉시 반응하지만 복귀는 지연되는 방식이다.