전기공사기사 상태변수의 의의 — 상태방정식과 과도응답 지표

상태변수는 그 시점에서 시스템이 앞으로 어떻게 동작할지를 결정하는 데 필요한 정보다. 상태방정식은 시스템의 동작을 나타내는 여러 수식 표현 가운데 하나이므로, 같은 시스템이라면 좌표를 바꿔 다른 형태로 써도 실제 시간응답이나 주파수응답은 달라지지 않는다.

시스템 자체의 동작 특성은 상태행렬 A가 결정한다. X=AX+BU에서 특성방정식은 sI−A의 행렬식이 0이 되는 식, 곧 |sI−A|=0이고 그 근이 고유치다.

상태방정식 X(t)=AX(t)의 해는 행렬 지수의 꼴로 나타난다. 행렬 A의 지수함수를 초기상태 벡터에 곱한 X(t)=e^(At)X(0)가 시간에 따른 상태다. 이때 상태 천이행렬 φ(t)=e^(At)에 t=0을 넣으면 항등행렬 I가 된다. 아무 동작도 일어나지 않은 상태, 곧 단위행렬이다.

입력신호를 가한 다음 출력이 정상 상태에 도달할 때까지의 응답이 과도응답이다. 지연시간은 출력이 처음으로 정상값의 50%에 도달하는 시간이고, 오버슈트는 목표값을 넘어선 비율, 정착시간은 허용오차 안에 머무는 시간이다. 감쇠비는 진동이 얼마나 빨리 줄어드는지를 나타내는 수치이지 목표값과 최대값의 비가 아니다.

상태공간 해석 문제라도 제어계 분류가 함께 나온다. 선형 제어계는 중첩의 원리가 성립하고 입출력이 비례 관계이며, 목표값이 일정한 상태에서 외란을 억제하는 피드백은 정정 제어계다. 다만 루프 이득이 지나치게 크면 위상 여유가 줄어 발진할 수 있다. 샘플링하면 이산, 파라미터가 변하면 시변, 중첩이 성립하면 선형이므로 세 단서가 모두 맞는 제어계는 이산·선형 시변 제어계다.