어떤 재료의 탄성계수 E 와 전단탄성계수 G를 알아보았더니 E=210GPa, G=83GPa를 얻었다. 이 재료의 포아송비는?
- 0.265
- 0.115
- 1.0
- 0.435
정답과 해설 보기
정답 ① · 탄성계수와 전단탄성계수로부터 포아송비를 구하는 문제이다. 탄성상수 관계식 E=2G(1+ν)를 포아송비에 대해 정리하면 ν=E/(2G)-1이 된다.
포아송비 ν는 (E/2G)-1 공식으로 구하며, 계산 결과 0.265가 된다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 재료의 물성치 — 탄성계수와 포아송비
재료의 탄성계수와 포아송비, 전단탄성계수 등 물성치는 응력과 변형률 관계를 규정하므로 설계·해석 문제에서 직접 계산과 식 변형으로 쓰인다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「재료의 물성치」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 탄성상수 관계로 ν 계산 | 1 | E와 G로부터 포아송비를 계산하라고 요구함 |
| 전단변형률 계산 | 1 | 전단응력과 전단탄성계수로 전단변형률을 구하라고 요구함 |
| 평면응력 변형률 계산 | 1 | 두 방향 응력에서 각 방향 변형률을 계산하라고 요구함 |
뜻
포아송비 ν는 종방향 변형률과 횡방향 변형률의 비율이며 탄성계수 E와 전단탄성계수 G 사이에는 E = 2G(1+ν) 관계가 성립한다. 이 관계를 ν에 대해 정리하면 ν = (E / 2G) - 1이 되어 주어진 E와 G로 포아송비를 구할 수 있다.
평면 응력상태에서 각 방향의 변형률은 일반화된 후크의 법칙으로 주어진다. 즉 x방향 변형률은 εx = (σx - νσy) / E, y방향 변형률은 εy = (σy - νσx) / E로 계산한다. 포아송 효과로 인해 한 방향의 응력이 다른 방향 변형에 영향을 준다는 점을 반영해야 한다.
전단 관계는 전단응력 τ와 전단변형률 γ 사이의 비례관계 γ = τ / G로 정리된다. 주어진 전단응력과 전단탄성계수로 전단변형률을 즉시 구할 수 있으며, 전단탄성계수 G를 구한 뒤 E = 2G(1+ν)로 세로탄성계수 E로 변환할 수 있다.
단면적 또는 체적 변화는 선형 변형률의 조합으로 근사할 수 있다. 원형 단면의 단면적 변화는 dA/A ≈ 2(dr/r) 이므로 인장에 따른 단면적 변화량은 약 ΔA ≈ -2νεA로 주어진다. 또한 축방향 균일 인장응력 σ가 작용할 때 체적 변형률 εν는 세 방향 변형률의 합으로, 단순화하면 εν = (σ/E)(1 - 2ν)로 표현된다.
계산 시 단위 통일에 주의해야 한다. 탄성계수는 보통 GPa 단위로 주어지며 응력은 MPa 또는 kPa로 주어질 수 있으므로 동일한 단위계로 환산한 뒤 식에 대입해야 실수 없이 값을 얻는다.
예제
1) E를 210 GPa로, G를 83 GPa로 가정하면 포아송비 ν를 구하면 ν = (E/2G) - 1 = 210/(2×83) - 1 ≈ 0.265가 된다. 이 계산은 E = 2G(1+ν) 관계식을 바로 변형하여 적용한다.
2) 축 방향 인장응력 σ = 10 MPa, E = 210 GPa, ν = 0.3일 때 체적 변형률 εν는 εν = (σ/E)(1 - 2ν)을 사용하여 εν ≈ (10×10^6 / 210×10^9) × (1 - 0.6) ≈ 1.904×10⁻⁵가 된다.
3) 전단응력 τ = 1 kPa, 전단탄성계수 G = 80 GPa일 때 전단변형률 γ = τ/G로 구하면 γ = 1 kPa / 80 GPa = 1/(8×10^7) ≈ 1.25×10⁻⁸가 된다.
대표 기출 3문항
전단 탄성계수가 80 GPa인 강봉(steel bar)에 전단응력이 1 kPa이 발생했다면 이 부재에 발생한 전단변형률 γ 는 얼마인가?
- 12.5 × 10-3
- 12.5 × 10-6
- 12.5 × 10-9
- 12.5 × 10-12
정답과 해설 보기
정답 ③ · 전단 응력과 전단 탄성 계수가 주어졌을 때 전단 변형률을 구하는 문제이다. 훅의 법칙에 따라 전단 변형률 γ=τ/G이고, 단위를 통일하면 τ=1kPa, G=80GPa=8×10의 7제곱 kPa이다.
전단변형률은 전단응력을 전단탄성계수로 나눈 값이며, 단위 환산에 주의해야 한다.
평면 응력상태에서 σx=100MPa, σy=50MPa일 때 x방향과 y방향의 변형율 εx, εy는 얼마인가? (단, 이 재료의 탄성계수 E=210 GPa, 포와송 비 μ=0.3이다.)
- εx=202×10⁻⁶, εy=46×10⁻⁶
- εx=404×10⁻⁶, εy=95×10⁻⁶
- εx=404×10⁻⁶, εy=404×10⁻⁶
- εx=808×10⁻⁶, εy=190×10⁻⁶
정답과 해설 보기
정답 ② · 평면 응력 상태에서 x방향과 y방향의 변형율은 이방성 응력에 의한 변형을 고려한 Hook의 법칙을 따릅니다. 변형율 공식은 εx = (σx - μσy) / E 이고, εy = (σy - μσx) / E 입니다.
평면 응력 상태의 변형률은 훅의 법칙 ε=(σ-μσ)/E를 적용하여 각 방향의 응력과 포아송비를 고려해 계산한다.
자주 묻는 물음
- 포아송비는 어떻게 구하나?
- 탄성계수 E와 전단탄성계수 G가 주어지면 E = 2G(1+ν) 관계에서 ν = (E/2G) - 1로 구한다.
- 평면 응력상태에서 각 방향 변형률은 어떤 공식을 쓰나?
- 평면 응력에서는 εx = (σx - νσy) / E, εy = (σy - νσx) / E 공식을 적용하여 각 방향 변형률을 계산한다.
- 전단 관련 물성치로 E를 구하려면 어떤 순서를 따르나?
- 먼저 τ와 γ로부터 전단탄성계수 G = τ/γ를 구하고, 포아송비 ν가 주어지면 E = 2G(1+ν)로 세로탄성계수 E를 구한다。
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