토목기사 위어 — 수두와 유량의 3/2제곱 관계

목적부터 갈라 둔다. 위어는 상류의 수위를 높여 유량을 측정하거나 조절하는 구조물이고, 분수나 경관용으로도 쓰인다. 하천 정화는 수질 개선 시설의 역할이지 위어의 목적이 아니므로, 정화 기능을 위어의 주요 목적으로 적은 선지가 오답이다.

수두와의 관계가 핵심이다. 직사각형 위어의 유량은 베르누이 정리를 적용해 유도한 Q = k·h^(3/2)가 되고, k를 상수로 보면 유량은 월류수심 h의 3/2제곱에 비례한다. 폭을 남긴 일반형은 Q = (2/3)Cd b √(2g) h^(3/2), 프란시스 식은 Q = 1.84 B H^(3/2)다. 형상이 다르면 지수가 달라져 직사각형은 3/2제곱, 삼각형은 5/2제곱이 된다. 수두의 1차나 1/2차에 비례한다고 적은 선지가 오답이다.

수두 오차는 1.5배로 번진다. Q가 h의 3/2제곱에 비례하므로 ΔQ/Q = (3/2)(ΔH/H)이고, 수두에 2%의 오차가 있으면 유량에는 3%의 오차가 생긴다. 월류수심이 25cm일 때 5mm의 측정 오차도 1.5×0.5/25 = 3%가 된다. 지수 3/2를 곱하지 않아 2%로 적거나 2배를 곱해 4%로 적은 값이 오답이다.

폭 오차는 그대로 번진다. 프란시스 식에서 유량은 위어 폭 B에 1차로 비례하므로 폭의 상대오차가 유량의 상대오차와 같아진다. 폭에 2%의 오차가 있으면 유량도 2%의 오차가 된다. 폭에도 3/2제곱을 적용해 3%로 적은 선지가 오답이다. 수두와 폭의 지수가 다르다는 점이 이 유형의 갈림길이다.

하류 수위의 영향도 정해져 있다. 하류 수위가 위어 마루보다 낮으면 월류가 자유로운 상태가 되어 유량은 하류 수위의 영향을 받지 않는다. 하류 수위와 무관하게 항상 영향을 받는다고 적거나, 월류가 자유로운지 잠긴 상태인지의 경계 조건을 뒤집은 선지가 오답이다.