개념 한 쪽
토목기사 보의 처짐 — 계산 방법과 곡률반지름 R=EI/M
처짐을 구하는 길은 방법과 공식 두 갈래다. 이중적분법·공액보법·단위하중법은 처짐을 직접 구하는 방법이고, 처짐각법은 절점의 회전각을 미지수로 잡는 평형법이라 처짐 자체를 구하는 방법이 아니다.
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뜻
먼저 방법을 갈라 놓는다. 이중적분법·공액보법·단위하중법은 모두 보의 변위인 처짐을 직접 구하는 해석 기법이다. 가상일의 방법은 단위하중법과 같은 방법으로 에너지 보존에 근거하므로, 모멘트 면적법 같은 기하학적 방법과 갈린다. 처짐각법은 절점의 회전각을 미지수로 두고 평형방정식을 세우는 방법이라 처짐 계산법 목록에 넣으면 오답이다. 직접법 대 평형법, 에너지법 대 기하학법 두 축으로 가르면 정리된다.
공식은 지지조건과 하중 종류가 정한다. 단순보 중앙 집중하중은 δ=PL³/48EI, 단순보 등분포하중은 δ=5wL⁴/384EI, 양단고정 보 중앙 집중하중은 δ=PL³/192EI다. 길이 6m 단순보에서 중앙 3t 집중하중과 0.5t/m 등분포하중을 비교하면 집중하중 쪽 처짐이 약 1.6배 크다. 하중의 크기가 P와 wL로 다르므로 계수비만 견주면 틀리고, 두 식을 모두 대입해야 한다. 계수 48·5/384·192를 서로 바꿔 놓은 선지가 오답이다.
곡률반지름은 R=EI/M로 구한다. 폭 20cm·높이 30cm 단면은 I=bh³/12=45,000cm⁴이고, 최대 휨모멘트 2tonf·m가 200,000kgf·cm, E=100,000kgf/cm²이면 R=22,500cm, 곧 225m가 된다. cm로 나온 값을 m로 바꾸지 않은 선지가 오답이고, E와 I를 곱하는 자리와 M으로 나누는 자리를 뒤집은 값도 오답이다.
중앙 집중하중이면 휨모멘트가 PL/4이므로 곡률반지름은 R=4EI/PL 꼴이 된다. 길이 10m 단순보 중앙에 2tonf가 작용하고 I=400cm⁴, E=2.1×10⁶kgf/cm²이면 약 16.8m가 나온다. 이동 집중하중이 지나갈 때도 최대 휨모멘트는 중앙에서 PL/4이므로 곡률반지름이 그 단면에서 가장 작아진다.
지지조건이 바뀌면 계수도 바뀐다. 양단고정 보에서 처짐 한계가 주어져 길이를 물으면 δ=PL³/192EI를 L에 대해 정리해 L=(192EIδ/P)^(1/3) 꼴로 풀어야 한다. 단순보 계수 48을 그대로 넣으면 오답이 된다.
예제
출제 패턴은 네 가지다. ① 방법 분류 — 처짐각법을 처짐 계산법에 넣거나 가상일법을 기하학적 방법으로 묶은 선지가 오답이다. ② 계수 — 처짐 계수 1/48·5/384·1/192를 서로 바꾼 값이 오답이다. ③ 곡률 — R=EI/M에서 EI와 M의 자리를 바꾸거나 cm→m 환산을 빠뜨린 값이 오답이다. ④ 하중 비교 — 계수비만 보고 P와 wL의 크기 차이를 반영하지 않은 값이 오답이다.
자주 묻는 물음
- 처짐을 구하는 방법에는 어떤 것이 있나요?
- 이중적분법·공액보법·단위하중법이 처짐을 직접 구하는 방법입니다. 가상일의 방법은 단위하중법과 같고 에너지 보존에 근거합니다. 처짐각법은 절점의 회전각을 미지수로 잡는 평형법이라 처짐 자체를 구하는 방법이 아닙니다.
- 처짐 공식은 무엇으로 갈리나요?
- 지지조건과 하중 종류입니다. 단순보 중앙 집중하중 PL³/48EI, 단순보 등분포하중 5wL⁴/384EI, 양단고정 보 중앙 집중하중 PL³/192EI입니다. 길이 6m 단순보에서 중앙 3t 집중하중과 0.5t/m 등분포하중을 비교하면 집중하중 쪽이 약 1.6배 큽니다.
- 곡률반지름은 어떻게 구하나요?
- R=EI/M입니다. 폭 20cm·높이 30cm 단면(I=45,000cm⁴)에 최대 휨모멘트 2tonf·m, E=100,000kgf/cm²이면 22,500cm, 곧 225m이고, 중앙 집중하중이면 M=PL/4라 R=4EI/PL 꼴이 됩니다. cm로 나온 값은 m로 환산해야 합니다.
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