개념 한 쪽
교류 신호는 시간에 따라 크기와 위상이 변하며, 위상의 앞섬·뒤섬은 파형 관계를 해석하는 핵심 요소이다. 정현파는 사인과 코사인의 관계, 라디안과 도의 변환, 실효값과 최대값의 상호관계 등 기본 규칙으로 다루며, 이들 규칙을 통해 순시값과 위상차를 정확히 표현한다.
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출제기준 단원 「위상의 시간변화」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 위상 앞섬 표기 판별 | 1 | 90° 앞선 사인파를 코사인으로 바꾸는 능력 |
| 각도 단위 변환 | 1 | 라디안 rad를 도 단위로 변환하는 기본 관계 |
| 복소수 실수/허수 연산 | 1 | 복소수의 극좌표를 직각좌표로 변환해 더하기 |
정현파는 보통 i(t)=Im sin(ωt+φ)와 같은 형태로 표현하며, 여기서 진폭 Im은 최대값을 의미하고 순시값은 특정 시간에서의 순간 크기를 나타낸다. 순시값은 시간함수이므로 임의의 순간의 크기를 묻는 문제에서는 순시값을 선택한다.
사인과 코사인의 관계를 이용하면 위상 변환이 용이하다. 예를 들어 sin(θ+90°)=cosθ이므로, 사인형 파형보다 90° 앞선 파형은 코사인형으로 나타낼 수 있다. 따라서 위상에서 '앞선다'는 표시는 각도에 더하기, '뒤진다'는 표시는 각도에 빼기로 취급한다.
실효값(RMS)과 최대값(피크) 사이에는 Vm = √2·Vrms의 관계가 성립한다. 문제에서 실효값이 주어지면 최대값을 구할 때 √2를 곱해야 하고, 반대로 최대값이 주어지면 실효값은 최대값을 √2로 나눠 계산한다.
복소수 표기에서는 극좌표(크기∠각도)와 직각좌표(a + jb)를 상호 변환하여 연산해야 한다. 극좌표를 직각좌표로 바꾸려면 실수부는 r cosθ, 허수부는 r sinθ를 사용하며, 변환 후 실수부끼리 허수부끼리 더하면 복소수 덧셈을 수행할 수 있다.
기준 전압 v=Vmsin(ωt+30°)와 위상이 90° 뒤진 전류의 위상은 전압 위상에서 90°를 빼는 방식으로 계산한다. 전압 위상이 30°이면 전류 위상은 30°-90°=-60°가 되어 i(t)=Im sin(ωt-60°)가 된다. 진폭이 문제에서 직접 '최대값'으로 주어졌다면 √2를 곱하지 않고 그 값을 진폭으로 쓴다.
순시값 관련 문제는 '임의의 순간'이라는 표현을 확인하여 순시값을 고르면 된다. 복소수 덧셈 문제에서는 극좌표를 직각좌표로 변환한 후 실수부와 허수부를 각각 더해 결과를 얻는다.
ii=Imsinωt인 정현파 교류가 있다. 이 전류보다 90° 앞선 전류를 표시하는 식은?
정답 ① · 문제는 주어진 사인파 전류보다 90° 위상이 앞선 전류의 식을 묻고 있다. 사인 함수에 90°를 더하면 코사인 함수가 되므로 90° 선행하는 파형은 Im·cosωt로 표현된다.
사인파보다 90도 앞선 위상은 코사인파로 변환되므로 임피던스 계산 시 위상 차이를 코사인 함수로 표현한다.
2π[rad]을 각도로 표시하면 몇 도인가?
정답 ④ · 문제는 라디안 단위를 도(°)로 변환하는 기본 상식을 묻고 있다. 한 바퀴 회전은 2π 라디안이고 이것은 360도로 정의되므로 2π[rad]은 360°에 해당한다.
1회전인 2π 라디안은 360도와 같으므로, 2π[rad]은 360도에 해당한다.
어느 회로에 V=30+j10[V]의 전압이 인가되어 I=40+j30[A]의 전류가 흐른다면 이 회로의 역률은 약 몇 [%]인가?
정답 ③ · 문제는 복소 전압과 전류가 주어졌을 때 역률을 구하는 것이다. 역률은 유효전력/피상전력이며 코사인(위상차) 또는 실수부 내적 방식으로 계산할 수 있다.
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