계단응답이 입력 신호와 같은 파형이고 시간만이 뒤졌을 때 이 계의 요소는?
- 미분요소
- 부동작 시간요소
- 1차 뒤진요소
- 2차 뒤진요소
정답과 해설 보기
정답 ② · 문제는 계단 응답이 입력 파형과 동일하되 시간만 뒤쳐져 나타날 때 그 요소가 무엇인지 묻는다. 입력 파형 그대로가 단지 시간 지연되어 나온다는 것은 미분·적분 등 동적 변형 없이 지연만 발생하는 부동작(전달 지연) 요소, 즉 순수 지연 요소(transport delay)를 나타낸다.
개념 한 쪽
전기기사 기본적 요소의 전달함수 — 적분 K/s·1차 1/(1+Ts)·보드 기울기
제어요소의 표준형은 전달함수 꼴로 외운다 — 적분요소 K/s, 미분요소 Ks, 비례요소 K, 1차 지연요소 K/(1+Ts). 보드선도에서 적분요소는 이득이 −20[dB/dec]로 내려가고 위상은 −90°, 1차 요소는 절점 주파수에서 −3[dB]다. 계단 응답 1−e^(−2t)의 계는 G = 2/(s+2)로 역산된다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「기본적 요소의 전달함수 등」의 공개 문제 9개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 요소 꼴·전달함수 역산 고르기 | 3 | K/s·부동작 시간·응답→G 판별 |
| 보드선도 이득·위상 계산 | 4 | −3dB·−20dB·−90°·기울기 산출 |
| 영점·PI 조작량 계산 | 2 | 분자 0 역산·비례+적분항 산출 |
가장 자주 묻는 것은 보드선도 이득·위상 계산입니다.
뜻
표준 형식의 전달함수부터 세운다. 적분요소는 시간영역에서 출력이 입력의 적분이므로 라플라스 영역에서 K/s, 미분요소는 Ks, 비례(이득)요소는 K, 1차 지연요소는 K/(1+Ts)다. 계단응답이 입력 신호와 같은 파형에 시간만 뒤진 것은 부동작 시간요소(순수 지연)다 — 파형 변형이 없다는 점에서 1차·2차 지연요소(모양이 변한다)와 갈린다. 응답으로 전달함수를 역산하는 문항은 라플라스 변환으로 푼다. 단위 계단 입력에 출력 y(t) = 1−e^(−2t)이면 Y(s) = 1/s−1/(s+2), U(s) = 1/s이므로 G(s) = s·Y(s) = 2/(s+2)다.
보드선도의 이득·위상은 요소별로 정해진 값으로 답한다. 1차 요소 G(s) = 1/(1+Ts)의 절점 주파수 ω = 1/T에서 이득은 1/√2, 즉 20log₁₀(1/√2) ≈ −3[dB]다. 주파수 전달함수 G(jω) = 1/(j100ω)는 크기 |G| = 1/(100ω)에 위상 −90°(1/j = −j)다. ω = 0.1[rad/s]이면 |G| = 0.1, 이득 20log₁₀(0.1) = −20[dB]이고 위상은 −90°다. 적분요소 K/s의 이득곡선은 주파수가 10배마다 20[dB]씩 감소해 기울기 −20[dB/dec]다.
계산형은 두 가지다. 영점은 전달함수의 분자를 0으로 만드는 s값이다. PD 조절기 G(s) = 1.2+0.02s의 영점은 0.02s+1.2 = 0에서 s = −60이다. PI 동작의 조작량은 비례항과 적분항의 합이다. 비례 감도 Kp = 4·적분시간 Ti = 4[s]의 요소에 z(t) = 2t를 주면 u(t) = Kp·z+(Kp/Ti)∫z dt = 4×2t+∫2t dt = t²+8t다(초기값 0).
예제
계산은 세 갈래다. ① 역산: 계단 응답 → Y(s) → G = s·Y(1−e^(−2t) → 2/(s+2)). ② 보드: |G| = 1/(100ω) → 20log₁₀(0.1) = −20dB·위상 −90°, 절점에서 −3dB, 적분 기울기 −20dB/dec. ③ 영점·PI: 분자 = 0(→ −60), u = Kp·z+(Kp/Ti)∫z(→ t²+8t).
대표 기출 3문항
1차 요소 G(s)=1/(1＋Ts)인 제어계의 절점 주파수에서 이득은 약 몇 [dB]인가?
- -5
- -4
- -3
- -2
정답과 해설 보기
정답 ③ · 1차 전달함수 G(s)=1/(1+Ts)의 절점(컷오프) 주파수 ωc는 1/T 이며 이 주파수에서 이득은 DC 이득의 1/√2가 된다. 전압비를 dB로 바꾸면 20·log10(1/√2) ≈ -3.01 dB 이므로 보기 중 -3 dB에 해당하는 3번이 맞다.
PD 조절기와 전달함수 G(s)=1.2+0.02s 의 영점은?
- -60
- -50
- 50
- 60
정답과 해설 보기
정답 ① · 영점(zero)은 전달함수의 분자가 0이 되는 s값이다. G(s)=1.2+0.02s를 0으로 놓으면 0.02s+1.2=0이므로 s=-1.2/0.02=-60이 된다.
자주 묻는 물음
- 적분요소의 전달함수는?
- K/s입니다. 출력이 입력의 적분이 되는 요소이며 미분요소는 Ks, 1차 지연요소는 K/(1+Ts)입니다.
- 계단응답이 입력과 같은 파형에 시간만 뒤진 요소는?
- 부동작 시간요소(순수 지연 요소)입니다. 파형 변형 없이 지연만 생깁니다.
- 1차 요소의 절점 주파수에서 이득은?
- 약 −3dB입니다. ω = 1/T에서 크기가 1/√2로 떨어지기 때문입니다.
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