공기중에 있는 지름 6㎝인 단일 도체구의 정전용량은 약몇 ㎊ 인가?
- 0.33
- 0.67
- 3.3
- 6.7
정답과 해설 보기
정답 ③ · 구형 도체의 정전용량은 C = 4πε0 r 이다. 지름 6 cm 이므로 반지름 r = 0.03 m 이고 ε0 ≈ 8.854×10^-12 F/m 이다.
개념 한 쪽
전기기사 정전용량의 정의 — 도체구·동심구·동축원통 공식
정전용량은 도체가 전하를 얼마나 담을 수 있는지를 나타내는 값이다. 고립 도체구는 C = 4πε₀a, 동심 구는 ab/(b−a)에 비례하고, 동축 원통은 길이에 비례하고 로그에 반비례한다. 시험은 이 세 공식에 값을 넣는 계산이 전부다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「정전용량의 정의」의 공개 문제 5개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 고립 구 용량 수치 계산 | 2 | 반지름(지름)을 넣어 pF 값 산출 |
| 공식 고르기 | 1 | 반지름 a 도체구의 정전용량 식 선택 |
| 동심 구 용량 계산 | 1 | 내외 반지름으로 구 사이 용량 산출 |
| 동축 원통 용량 계산 | 1 | 길이와 반지름 비로 원통 용량 산출 |
가장 자주 묻는 것은 고립 구 용량 수치 계산입니다.
뜻
정전용량은 도체에 전하 Q를 주었을 때 전위가 V만큼 오르는 비율로 정의되며, C = Q/V로 쓴다. 정전용량의 값은 도체의 크기와 모양, 주변 매질의 유전율로 정해지고 담는 전하의 양과는 무관하다.
고립된 도체구의 정전용량은 C = 4πε₀a다. 반지름이 a = 1m이면 C ≈ 4π×8.854×10⁻¹²×1 ≈ 1.11×10⁻¹⁰F, 즉 약 111pF가 된다. 지름 6cm인 구는 반지름 0.03m를 넣어 약 3.3pF다. 반지름에 정비례하므로 구가 커질수록 정전용량도 커진다.
두 동심 도체구 사이의 정전용량은 C = 4πε₀·ab/(b−a)다. 내 반지름 a = 0.02m, 외 반지름 b = 0.04m이면 ab/(b−a) = 0.04m가 되어 C ≈ 4.45pF다. 내외 구가 가까울수록(b−a가 작을수록) 정전용량이 커진다.
동축 원통 콘덴서의 정전용량은 C = 2πε₀L/ln(b/a)다. 길이 L에 비례하고, 외·내 반지름의 비 b/a가 로그로 들어가 반비례한다. 내 반지름 1cm, 외 반지름 2cm, 길이 50cm이면 ln(b/a) = ln2 ≈ 0.693이 되어 C ≈ 40pF다.
계산의 공통 점은 단위 환산이다. ㎝는 m로, pF는 10⁻¹²F로 바꿔 넣어야 값이 보기와 맞는다. 절연내력이나 전하량 조건이 붙어도 정전용량 공식 자체는 도형의 치수만으로 정해진다.
예제
고립 구 계산은 C = 4πε₀a에 반지름을 미터로 넣는다. 지름 6cm → r = 0.03m → C ≈ 3.3pF, 반지름 1m → C ≈ 111pF. 동심 구는 ab/(b−a)를 먼저 정리한다. a = 2cm, b = 4cm이면 (0.02×0.04)/0.02 = 0.04m이고 C = 4πε₀×0.04 ≈ 4.45pF. 동축 원통은 C = 2πε₀L/ln(b/a)에 L = 0.5m, ln2 ≈ 0.693을 넣어 약 40pF를 얻는다. 세 문제 모두 ε₀ = 8.854×10⁻¹²F/m를 쓰며 치수 단위를 미터로 맞추는 것이 첫 단계다.
대표 기출 3문항
진공 중에 있는 반지름 a[m]인 도체구의 정전용량 [F]은?
- 4πε0a
- V0d
- ε0a
- a
정답과 해설 보기
정답 ① · 구형 도체 하나의 정전용량을 묻고 있다. 반지름 a인 고립된 도체구의 정전용량은 고전전기학에서 C = 4πε0 a로 주어진다.
반지름이 1㎝와 2㎝인 동심원통의 길이가 50㎝일 때, 이것의 정전용량은 약 몇 [pF]인가? (단, 내원통에 ＋λ[㎝]. 외원통에 -λ전[c/m]인 전하를 준다고 한다.)
- 0.56pF
- 34pF
- 40pF
- 141pF
정답과 해설 보기
정답 ③ · 동축 원통형 콘덴서의 정전용량은 C = (2πϵ0 L)/ln(b/a) 이다. 여기서 a=0.01 m, b=0.02 m, L=0.5 m 이고 ln(b/a)=ln2 ≈0.6931 이다.
자주 묻는 물음
- 고립 도체구의 정전용량 공식은 무엇인가요?
- C = 4πε₀a입니다. 반지름에 정비례하므로 반지름 1m인 구는 약 111pF, 지름 6cm인 구는 약 3.3pF입니다.
- 동심 도체구와 동축 원통의 공식은 어떻게 다른가요?
- 동심 구는 C = 4πε₀·ab/(b−a)로 내외 구의 거리가 가까울수록 커지고, 동축 원통은 C = 2πε₀L/ln(b/a)로 길이에 비례하고 반지름 비의 로그에 반비례합니다.
- 정전용량 계산에서 자주 틀리는 지점은 무엇인가요?
- 단위 환산입니다. ㎝로 주어진 치수를 m로 바꾸지 않으면 값이 100배 어긋나고, pF는 10⁻¹²F임을 기준으로 보기와 맞춰야 합니다.
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