상태방정식 X = AX + BU 인 제어계의 특성방정식은?
- │ sⅡ - B │ = Ⅱ
- │ sⅡ - A │ = Ⅱ
- │ sⅡ - B │ = 0
- │ sⅡ - A │ = 0
정답과 해설 보기
정답 ④ · 상태방정식 x' = Ax + Bu의 특성방정식은 시스템의 고유치(특성값)를 구하는 방정식이다. 고유치는 행렬 A의 고유값으로 정의되므로 특성방정식은 det(sI - A) = 0이다.
개념 한 쪽
전기기사 특성방정식의 근 — |sI−A|=0·1+G(s)=0·z평면 단위원 내부
상태방정식 x=Ax+bu의 특성방정식은 |sI−A| = 0이고, 단위 피드백 계의 특성방정식은 1+G(s) = 0 — G(s)=(s+2)/((s+1)(s+3))이면 s²+5s+5 = 0이다. 연속계는 근이 s평면 좌반평면에, 이산계는 z평면 단위원 내부(|z|<1)에 있어야 안정하고, 모든 근이 허수축에 있으면 임계안정이다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「특성방정식의 근 등」의 공개 문제 6개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 이산계 안정 조건 판별 | 3 | 단위원 내부·수치 근 절대값 미만 판별 |
| 특성방정식 세우기 | 2 | sI−A 행렬식=0·1+G(s)=0 판별·산출 |
| 근 위치와 안정도 판별 | 1 | 허수축 근 → 임계안정 판별 |
가장 자주 묻는 것은 이산계 안정 조건 판별입니다.
뜻
특성방정식을 세우는 두 길이 있다. 상태방정식으로 주어진 계는 계수 행렬 A의 고유치를 구하는 문제로 귀결되어 |sI−A| = 0이 특성방정식이다 — 입력 행렬 B는 고유치와 무관하므로 |sI−B|는 틀린 보기다. 개루프 전달함수로 주어진 단위 피드백 계는 1+G(s) = 0의 분자를 전개한다. G(s) = (s+2)/((s+1)(s+3))이면 (s+1)(s+3)+(s+2) = s²+4s+3+s+2 = s²+5s+5 = 0이 특성방정식이다.
근의 위치로 안정도를 판정한다. 연속시간 계는 모든 근의 실수부가 음수(s평면 좌반평면)면 안정하고, 모든 근이 허수축(jω축)에 있으면 발산하지도 수렴하지도 않는 임계안정이다. 이산(디지털) 계는 기준이 달라 z평면에서 판정한다 — 특성방정식의 모든 근이 단위원 내부(절대값이 1보다 작은 곳)에 있으면 안정하다. 음의 반평면·양의 반평면 같은 서술은 s평면 기준을 그릇 가져온 것이므로 틀린 보기다.
수치 판정은 절대값 하나로 끝난다. 이산계의 근이 −0.3, −0.2, +0.5로 주어지면 세 값 모두 |z| < 1이므로 안정한 계다. 절대값이 1인 근이 있으면 임계안정, 하나라도 1을 넘으면 불안정이다. 부호는 판정에 쓰이지 않고 크기만 본다.
예제
두 단계다. ① 세우기: 상태방정식 → |sI−A| = 0 / 피드백 계 → 1+G(s) = 0의 분자 전개(→ s²+5s+5). ② 판정: 연속계 좌반평면 안정·허수축 임계안정 / 이산계 단위원 내부(|z|<1) 안정 — −0.3·−0.2·+0.5 → 안정.
대표 기출 3문항
이산 시스템(discrete data system)에서의 안정도 해석에 대한 아래의 설명 중 맞는 것은?
- 특성방정식의 모든 근이 z 평면의 음의 반평면에 있으면 안정하다.
- 특성방정식의 모든 근이 z 평면의 양의 반평면에 있으면 안정하다.
- 특성방정식의 모든 근이 z 평면의 단위원 내부에 있으면 안정하다.
- 특성방정식의 모든 근이 z 평면의 단위원 외부에 있으면 안정하다.
정답과 해설 보기
정답 ③ · 이산시간(디지털) 시스템의 안정성 기준은 z평면에서의 근 위치이다. 안정하려면 특성방정식의 모든 근(폴)이 단위원(unit circle) 내부에 있어야 입력이 시간이 지남에 따라 소멸하고 출력을 안정화시킨다.
특성방정식의 모든 근이 s평면(복소평면)의 jω축(허수축)에 있을 때 이 제어시스템의 안정도는?
- 알 수 없다.
- 안정하다.
- 불안정하다.
- 임계안정이다.
정답과 해설 보기
정답 ④ · 특성방정식의 모든 근이 허수축(jω축)에 있을 때 시스템은 근들이 좌반평면에 없고 우반평면에도 없지만 작은 외란으로 발산할 수 있으므로 임계안정(정밀하게 한계상태의 안정)로 분류된다. 즉 완전한 안정(모든 실부음수)이 아니며 불안정도 아니다.
자주 묻는 물음
- 상태방정식 계의 특성방정식은?
- |sI−A| = 0입니다. 계수 행렬 A의 고유치를 구하는 식입니다.
- 단위 피드백 계의 특성방정식은?
- 1+G(s) = 0입니다. 분자를 전개해 다항식으로 씁니다.
- 이산 시스템의 안정 조건은?
- 특성방정식의 모든 근이 z평면 단위원 내부(|z| < 1)에 있는 것입니다.
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