개념 한 쪽
지하수는 다르시 법칙에 따라 흐르며, 흐름 속도는 투수계수와 수력경사 및 간극비에 의해 좌우된다. 토질 내부에서의 유체 이동 시간과 투수계수 변화는 단위 변환과 비례식 적용으로 계산한다. 한계동수경사와 허용 동수경사도 비중과 간극비로부터 산정한다.
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출제기준 단원 「물의 2차원 흐름」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 지하수 이동 시간 계산 | 1 | 수력경사 및 간극도 이용해 이동 시간 산정 |
| 간극비 변화에 따른 투수계수 추정 | 1 | 간극비 비례식을 적용해 새로운 k 계산 |
| 한계·허용 동수경사 산정 | 1 | 비중과 간극비로 임계·허용 동수경사 구하기 |
다르시 법칙(Darcy's law)은 포화된 다공질 매질에서의 평균 유속을 나타내는 기본 법칙으로, 침투속도 v는 투수계수 k에 수력경사 i를 곱한 값을 간극도 n으로 나눈 형태로 표현된다고 한다. 이 관계식 v = k·i/n은 지하수나 침출수의 이동 시간을 추정하는 데 핵심적인 역할을 한다고 한다.
간극비(e)와 투수계수(k)의 관계는 여러 경험식으로 표현되며, 단순 비례 관계에서부터 제곱 또는 경험식(e³/(1+e)) 비례까지 다양하게 사용된다고 한다. 예를 들어 하겐-포아죄유 유도에서는 k가 간극비의 제곱에 비례한다는 설명이 있고, 다른 경험식에서는 k∝e³/(1+e) 형태로 사용되는 경우도 있다고 한다. 따라서 간극비가 줄어들면 투수계수는 크게 감소한다고 이해해야 한다고 한다.
한계동수경사(i_c)는 모래 입자가 물에 의해 부유하기 시작하는 임계 경사로서, 표준식은 i_c = (Gs - 1) / (1 + e)로 표현된다고 한다. 함수비나 다른 변수로 표현할 때는 포화 상태 관계 e = ωGs를 대입하여 변형된 식을 얻을 수 있다고 한다. 허용 동수경사는 이 임계값을 안전율로 나눈 값으로 산정한다고 한다.
투수계수와 관련된 계산은 단위 환산에 취약하므로 단위(예: cm/sec, m, 초, 년) 변환을 꼼꼼히 확인해야 한다고 한다. 문제 풀이에서는 공식을 기억하고 수치 대입과 함께 단위 일관성을 유지하는 것이 중요하다고 한다.
문제 유형에서 흔한 실수는 간극비를 간극도로 착각하거나 단위를 통일하지 않는 점이다. 계산 시 우선 공식을 확정하고 간극비→간극도 변환, cm↔m 변환, 초↔년 변환 순서로 단위를 맞추는 습관을 들여야 한다고 한다.
어떤 모래의 비중이 2.64이고 간극비가 0.75일 때 이 모래의 한계동수경사(限界動水傾斜)는?
정답 ③ · 문제는 주어진 비중과 간극비로 한계동수경사를 계산하는 공식 적용 문제이다. 한계동수경사 ic는 (Gs − 1)/(1 + e)로 계산하므로 (2.64 − 1)/(1 + 0.75) = 1.64/1.75 ≈ 0.94가 된다.
한계동수경사 i_c는 (비중-1)/(1+간극비) 공식으로 계산하며, 모래의 침식 안정성을 판단하는 핵심 지표입니다.
간극비가 e1=0.80인 어떤 모래의 투수계수가 k1=8.5×10⁻²cm/sec일 때 이 모래를 다져서 간극비를 e2=0.57로 하면 투수계수 k2는?
정답 ② · 문제는 간극비 변화에 따른 투수계수 변화를 Hagen–Poiseuille 계열의 관계로 계산하는 것이다. 투수계수는 간극비의 제곱에 비례하므로 k2 = k1 × (e2/e1)²이다.
하겐-포아죄유 법칙에 따라 투수계수는 간극비 제곱에 비례하므로, 간극비 변화에 따른 투수계수 비를 계산한다.
쓰레기매립장에서 누출되어 나온 침출수가 지하수를 통하여 100리터 떨어진 하천으로 이동한다. 매립장 내부와 하천의 수위차가 1미터이고 포화된 중간지반은 평균 투수계수 1×10⁻³cm/sec의 자유면 대수층으로 구성되어있다고 할 때 매립장으로부터 침출수가 하천에 처음 도착하는데 걸리는 시간은 약 몇 년인가? (이 때, 대수층의 간극비(e)는 0.25 이었다.)
정답 ② · 이 문제는 유한 거리 이동에 대한 지하수 유속 계산으로, Darcy 법칙 형태 v = k·i / n을 사용한다. 수력경사는 수위차 1m/거리 100리터(100m)로 i=0.01이고 k=1×10⁻³ cm/s, 간극비 e=0.25이면 공극률 n=e/(1+e)=0.25/1.25=0.20이다.
침투속도 v=k·i/n, 이동시간 t=L/v 공식을 사용하여 유체 이동 시간을 계산한다.
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