개념 한 쪽
사면의 파괴거동 문제는 사면이 안정한지 판단하는 안전율, 흙의 점착력과 마찰각으로부터 유도하는 인장균열과 임계높이 공식을 주로 다룬다. 지하수위 위치나 흙의 상태(포화·비배수 등)에 따라 적용하는 공식과 단위중량의 선택이 달라지므로 조건을 정확히 판별해야 한다. 해석 방법으로는 Fellenius식 접근과 단순화한 Bishop식 원호해석의 가정 차이를 이해해야 한다.
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출제기준 단원 「사면의 파괴거동」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 인장균열로 점착력 역산 | 1 | 인장균열 깊이와 Ka 관계로 c를 계산하기 |
| 인장균열 공식 변형 계산 | 1 | Zc=2c/(γ√Ka) 변형으로 c를 구하는 역산 |
| 포화 무한사면의 최소 φ | 1 | 지하수위 일치 조건에서 φ의 최소값을 역산하기 |
사면 안정성의 핵심 지표는 안전율(Fs)로, 미끄럼을 촉진하는 힘에 대한 저항력의 비율을 나타낸다. 무한사면 문제에서는 조건에 따라 단순하게 Fs = tanφ/tanβ 또는 γ'·(tanφ/tanβ)/γsat 등의 변형 공식을 사용하여 내부마찰각 φ와 사면경사 β의 관계로 안전성을 판단한다. 지하수위가 지표면과 일치하면 유효단위중량 γ'를 고려해야 한다는 점이 중요하다.
점착력(c)이 지배적인 점성토의 연직 절단·굴착 문제에서는 ø=0(비배수 혹은 단기 조건) 가정을 적용하여 Fs = 4c/(γH) 공식을 사용하는 전형적인 패턴이 있다. 일축압축강도(qu)가 주어질 때는 보통 c = qu/2를 이용하여 점착력을 구한 뒤 위 공식을 적용하는 방식이 등장한다.
인장균열 깊이(Zc) 관련 문제는 Zc와 c, γ, Ka(능동토압계수)의 관계식을 이용한 역산 형태가 많다. 대표식으로 Zc = 2c/(γ√Ka) 또는 이를 변형한 c = Zc·γ·√Ka/2 등을 사용하여 점착력을 계산한다. Ka는 Ka = tan²(45°-φ/2)로 표현되어 √Ka = tan(45°-φ/2) 관계를 활용하면 계산을 단순화할 수 있다.
사면해석 방법은 가정의 차이에 따라 결과가 달라진다. Fellenius법은 절편 간 측면력을 무시하여 계산이 단순하고 보수적 경향을 나타내며, 단순화한 Bishop법은 절편 간의 수직력 평형을 고려하여 더 정밀한 안전율을 산출하되 시행착오법을 필요로 한다.
문제 유형 예시는 다음과 같다. 굳은 점토층을 연직절토할 때 일축압축강도 qu가 주어지면 c = qu/2로 변환하고 ø=0 가정 하에 Fs = 4c/(γH)를 적용하여 안전율을 계산한다. 포화된 무한사면에서 지하수위가 지표면과 일치하면 γ' = γsat - γw를 사용하고 Fs = (γ'/γsat)·(tanφ/tanβ) 형태로 φ의 최소값을 역으로 구한다. 인장균열 깊이 Zc가 주어지면 Zc = 2c/(γ√Ka)를 변형하여 c를 구하고 Ka는 tan²(45°-φ/2)로 계산한다.
대표적인 오개념으로는 ø가 주어졌어도 단기 조건에서는 ø=0을 적용해야 하는 경우를 간과하거나, 인장균열 공식에서 계수 2를 누락하는 계산 실수가 있다. 해석 방법 비교에서는 Fellenius와 Bishop의 가정 차이를 반대로 이해하는 실수가 빈발하므로 각 방법의 가정(측면력 무시 여부, 수직력 평형 고려 여부)과 계산 난이도를 구분해야 한다.
내부마찰각이 30° , 단위중량이 1.9t/m³인 흙의 인장균열 깊이가 3m일 때 점착력은?
정답 ① · 문제는 인장균열 깊이와 주어진 물성으로부터 점착력 c를 구하는 역산 문제이다. 인장균열 깊이식 z = 2c/(γ tanφ)를 c에 대해 정리하면 c = z·γ·tanφ/2 이다.
인장균열 깊이는 c/γ·tanφ 공식으로 구해지므로, 점착력 c는 인장균열 깊이 z에 단위중량과 마찰각을 대입하여 역산한다.
내부마찰각이 30°, 단위중량이 1.8t/m³인 흙의 인장균열 깊이가 3m일 때 점착력은?
정답 ① · 문제는 인장균열 깊이와 토성 지반의 물성으로부터 점착력(c)을 역산하는 문제이다. Rankine 관련 식을 이용하면 c = Zc·γ·√Ka / 2의 형태로 정리할 수 있고, 내부마찰각 30°에 대한 Ka는 tan²(45°-φ/2)=tan²(30°)=tan²30°=(√3/3)²≈0.333이며 √Ka≈0.577이다.
인장균열 깊이 Zc는 2c/(γ√Ka)이므로, c=Zc·γ·tan(45°+φ/2)로 점착력을 역산한다.
γsat=2.0t/m³인 사질토가 20°로 경사진 무한사면이 있다. 지하수위가 지표면과 일치하는 경우 이 사면의 안전율이 1 이상이 되기 위해서는 흙의 내부마찰각이 최소 몇 도 이상이어야 하는가?
정답 ③ · 문제는 지하수위가 지표면에 있고 사질토로 이루어진 무한사면에서 안정률을 1 이상으로 하기 위한 최소 내부마찰각을 묻고 있다. 이 경우 안정률 Fs는 tanφ / tanβ 이고 안전을 위해 Fs≥1이어야 하므로 tanφ≥tanβ, 즉 φ≥β 이어야 한다.
지하수위가 지표면인 무한사면 안전율 Fs=tanφ/tanβ이므로 φ=β=20°일 때 Fs=1이다.
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