개념 한 쪽
스프링 관련 문제는 재료의 탄성계수, 포아송비, 전단탄성계수와 변형률 간의 기본 관계를 묻는 유형이 많다. 단위 변환과 포아송 효과 적용이 핵심이며, 전단응력-전단변형률 관계와 체적 변형률 공식은 자주 쓰이는 도구이다.
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출제기준 단원 「스프링」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 전단변형률 계산 | 1 | 전단응력과 전단탄성계수로 전단변형률을 계산하는 방법 |
| 평면 응력 변형률 | 1 | 두 축 응력으로부터 각 방향 변형률을 구하는 공식 적용 능력 |
| 체적 변형률 계산 | 1 | 축응력, 탄성계수, 포아송비로 체적 변형률을 산출하는 절차 |
스프링 문제에서 전단변형률은 전단응력 τ를 전단탄성계수 G로 나눈 값 γ = τ/G으로 정의한다. 이 관계는 훅의 법칙의 전단형태이며 단위 일치가 중요하다. 전단탄성계수 단위와 전단응력 단위를 통일해야 계산 오류를 피할 수 있다.
체적 변형률은 세 직교 방향 변형률의 합으로 정의되며, 축방향 인장응력 σ와 탄성계수 E, 포아송비 ν가 주어지면 εν = (σ/E)(1 - 2ν)로 표현된다. 이 식은 횡방향 수축이 체적 변화에 미치는 영향을 포함하므로 포아송비가 클수록 체적 변형률이 줄어드는 효과가 반영된다.
평면 응력 상태에서는 각 방향의 변형률을 일반화된 후크의 법칙으로 구한다. 예컨대 εx = (σx - νσy)/E, εy = (σy - νσx)/E과 같이 주응력과 이방향 응력이 상호작용하여 변형률이 결정된다. 포아송비 항의 부호와 분모 단위 환산을 주의해야 한다.
원형 봉의 단면적 변화는 종방향 변형률 ε와 포아송비 ν를 쓰면 ΔA ≈ -2νεA로 근사된다. 즉, 단면적 변화량은 횡방향 치수 변화의 두 배 관계를 통해 간단히 유도할 수 있다.
계산 문제에서는 값의 단위를 MPa, GPa, kPa 등으로 섞어 쓰는 경우가 많으므로 미리 단위를 통일하여 해를 도출해야 한다.
예1) 전단탄성계수 G=80 GPa인 강봉에 전단응력 τ=1 kPa가 작용할 때 전단변형률 γ를 구한다. 단위를 통일하면 G=8.0×10^7 kPa이므로 γ = τ/G = 1 / (8.0×10^7) = 1.25×10⁻⁸가 된다.
예2) 축방향 인장응력 σ=10 MPa, E=210 GPa, ν=0.3일 때 체적 변형률 εν를 구한다. 단위를 맞춰 넣으면 εν = (σ/E)(1-2ν) ≈ (10/210000)×(1-0.6) ≈ 1.904×10⁻⁵가 된다.
전단 탄성계수가 80 GPa인 강봉(steel bar)에 전단응력이 1 kPa이 발생했다면 이 부재에 발생한 전단변형률 γ 는 얼마인가?
정답 ③ · 전단 응력과 전단 탄성 계수가 주어졌을 때 전단 변형률을 구하는 문제이다. 훅의 법칙에 따라 전단 변형률 γ=τ/G이고, 단위를 통일하면 τ=1kPa, G=80GPa=8×10의 7제곱 kPa이다.
전단변형률은 전단응력을 전단탄성계수로 나눈 값이며, 단위 환산에 주의해야 한다.
평면 응력상태에서 σx=100MPa, σy=50MPa일 때 x방향과 y방향의 변형율 εx, εy는 얼마인가? (단, 이 재료의 탄성계수 E=210 GPa, 포와송 비 μ=0.3이다.)
정답 ② · 평면 응력 상태에서 x방향과 y방향의 변형율은 이방성 응력에 의한 변형을 고려한 Hook의 법칙을 따릅니다. 변형율 공식은 εx = (σx - μσy) / E 이고, εy = (σy - μσx) / E 입니다.
평면 응력 상태의 변형률은 훅의 법칙 ε=(σ-μσ)/E를 적용하여 각 방향의 응력과 포아송비를 고려해 계산한다.
축 방향의 단면에 균일한 인장응력 10MPa이 작용하고 있다면 이 때 체적 변형률 εν는? (단, 포와송의 비 μ=0.3, 탄성계수 E=210GPa이다.)
정답 ④ · 체적 변형률 εν은 세 가지 직교 방향의 수직 변형률의 합으로 구할 수 있습니다. x축 방향의 인장 응력 σ=10MPa이 작용할 때, 변형률은 εx = σ/E, 나머지 방향은 포와송 비에 의해 εy=εz=-μσ/E 가 됩니다.
체적 변형률 εν은 (σ/E)(1-2μ) 공식으로 계산되며, 주어진 값을 대입하면 약 1.9×10⁻⁵가 된다.
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