개념 한 쪽
압력용기 설계 문제는 용기 형상에 따른 응력 공식을 적용하고, 안전계수를 반영한 허용응력을 먼저 구한 뒤 치수나 허용내압을 계산하는 순서를 따른다. 원통형과 구형의 응력 식은 분모의 계수가 달라 혼동하기 쉬우므로 형상별 공식을 정확히 구분해야 한다.
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출제기준 단원 「조합하중」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 원통형 허용내압 계산 | 1 | 허용응력 산정 후 원주응력식으로 내압을 구하는 절차 |
| 구형 용기 내경 계산 | 1 | 구형 응력식을 변형하여 최대 내경을 계산하는 방법 |
| 원통 두께·지름 산정 | 1 | 주어진 허용응력·내압에 대해 두께나 안지름을 도출하는 계산 |
얇은 원통형 압력용기에서는 원주방향 응력(후프응력, hoop stress)과 축방향 응력(longitudinal stress)을 사용한다. 후프응력은 σz = P·r / t 또는 P·D / (2t) 꼴로 표현하고, 축방향 응력은 σt = P·r / (2t) 또는 P·D / (4t) 꼴로 표현한다. 후프응력은 축방향 응력의 2배가 되므로 원통형 설계 시 원주방향을 기준으로 검토하는 경우가 많다.
구형(spherical) 압력용기에서는 응력이 두 방향으로 분산되므로 얇은 벽 근사에서 σ = P·d / (4t) 공식을 사용한다. 따라서 같은 허용응력과 두께일 때 구형이 원통형보다 더 큰 내압을 견딜 수 있으므로 형상에 따른 계수(구형:4, 원통형:2)를 구분해야 한다.
설계 계산 과정에서는 먼저 최대 사용강도에 안전계수를 나누어 허용응력(allowable stress)을 구한다. 그 다음 형상별 응력 공식을 목적에 따라 치수(D 또는 d)나 허용내압(P), 두께(t)에 대해 정리하여 계산한다. 단위 통일이 필수이며, MPa·mm 등 단위를 일관되게 맞춘 뒤 계산을 수행한다.
복합응력 상황과 관련된 문제에서는 축방향 응력, 후프응력, 그리고 필요 시 반경방향 응력 등을 구분하여 상황에 맞는 공식을 적용한다. 예를 들어 내부 압력으로 인한 축응력과 단면적 변화, 또는 압축과 인장 하의 체적변형률 계산은 각기 다른 기본 식을 적용해야 한다.
예1 — 원통형 용기의 허용내압 계산 문제 자료에 따라 최대 사용강도 240 MPa, 안전계수 2, 내경 D=1.5 m, 두께 t=3 mm가 주어지면 허용응력은 240/2 = 120 MPa이다. 원주응력식 P = 2σt / D를 사용하여 P = 2 × 120 MPa × 0.003 m / 1.5 m = 480 kPa가 된다. 이 절차는 허용응력 산정 후 원주응력 공식을 대입하는 순서를 따른다.
예2 — 구형 용기의 최대 내경 계산 구형 용기의 공식 σ = P·d / (4t)를 d에 대해 정리하면 d = 4σt / P가 된다. 허용응력 σ = 900 kN/cm², 두께 t = 3 mm(0.3 cm), 내압 P = 20 kN/cm²를 대입하면 d = (4 × 900 × 0.3) / 20 = 54 cm가 된다. 구형과 원통형의 계수 차이로 인해 원통형 공식을 썼을 때의 값과는 차이가 발생함을 확인한다.
지름 80mm, 두께 1mm의 짧은 강관 토막의 양단을 막고 그 속에 압력 2 MPa의 기체를 넣는다. 관벽을 순수전단 상태로 만들기 위해서는 그 양단에 몇 kN의 축 압축하중을 가하여야 하는가?
정답 ② · 얇은 원통의 관벽에 작용하는 축방향 응력(σ_x)은 σ_x = p*r/(2t) 이고 둘레방향 응력(σ_y)은 σ_y = p*r/t 입니다. 순수전단 상태가 되기 위해서는 축방향의 주응력이 0이 되어야 합니다.
순수전단 상태는 축응력 0이므로, 내압에 의한 인장력을 상쇄할 압축하중은 30.16kN이다.
직경이 1.5m, 두께가 3mm인 원통형 강재 용기의 최대 사용강도가 240 MPa 일 때 지탱할 수 있는 한계 압력은 몇 kPa인가? (단, 안전계수는 2이다.)
정답 ② · 원통형 압력 용기의 한계 압력을 안전계수를 고려해 구하는 문제이다. 얇은 원통형 용기에서 원주 방향 응력이 축 방향 응력의 두 배로 가장 크므로 σ = pr/t를 기준으로 한다.
원통형 용기의 두께 방향 응력(후벽 압력) 공식 σ=pr/2t를 사용하며, 안전계수로 나누어 허용 압력을 구한다.
두께 5mm의 연강판으로 2Mpa의 내압에 견디는 원통을 만들려고 한다. 허용응력이 60MPa이라면 안지름은 최대 몇 cm로 하면 되겠는가?
정답 ① · 얇은 두께의 원통형 압력 용기에서 주요하게 발생하는 후프 응력(Hoop Stress) 공식은 σ = (p × D) / (2 × t) 입니다. 내압 p=2 MPa, 원통의 두께 t=5 mm, 허용 응력 σ=60 MPa일 때, 안전한 최대 내경 D를 구해야 합니다.
후프 응력 공식 σ=pD/2t에 내압 p=2MPa, 두께 t=5mm, 허용응력 σ=60MPa를 대입하면 D=30cm가 된다.
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