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전기산업기사 정현파 교류 — 최대·실효·평균값 환산과 위상

정현파 교류 문제는 최대값·실효값·평균값의 비율 환산과 위상각 계산이 축이다. 계수 세 개와 90° 조건 하나만 있으면 대부분 즉답된다.

2026-10-16 기준 · 전기산업기사 대시보드

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시험에 이렇게 나온다

출제기준 단원 「정현파형」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.

묻는 꼴문제 수무엇을 묻나
위상차 구하기1사인과 코사인 교류의 위상차 각도
수치 계산1유도 리액턴스와 같은 용량 리액턴스의 C 값
식 유도1조건에 맞는 정현파 전압의 시간함수 표시

뜻

정현파의 값 변환은 「최대 : 실효 : 평균 = 1.414 : 1 : 0.9」 비율로 통째로 외운다. 최대값 기준으로 평균값은 Vav = (2/π)Vm ≈ 0.637Vm, 실효값은 Vrms = Vm/√2 ≈ 0.707Vm이므로, 평균값 191 V의 최대값은 (π/2)×191 ≈ 300 V이고(평균이 주어지면 ×1.57, 실효이 주어지면 ×1.41), 실효값 314 V의 평균값은 (2√2/π)×314 ≈ 0.9×314 ≈ 283 V다. 평균값은 항상 실효값보다 작다는 성질로 실효값을 넘는 선지는 곧장 소거한다. 파고율은 최대값/실효값으로 구형파는 1.0, 정현파는 1.414, 삼각파는 1.732다(파형률은 그 역수 관계로 본다).

시간함수 e = E sin(ωt+θ)에서 t초 후 최대치에 도달하는 조건은 괄호 안이 90°가 되는 것이다. 60 Hz면 ω = 2πf = 376.8 rad/s이고, t = 3 ms에서 최대라면 ωt ≈ 64.8°이므로 θ = 90°−64.8° = 25.2°, 진폭은 최대치로 주어진 5 그대로 써서 e = 5sin(376.8t+25.2°) V다(실효값 5 V가 주어졌을 때만 5√2로 바꾼다). 주기는 T = 2π/ω로 v = 100sin(377t+…)의 377은 각속도(rad/s)이므로 T = 1/60 s, f = 60 Hz다 — 「377 ≈ 120π = 60 Hz = 주기 1/60 s」 세트. sin과 cos 짝(cosθ = sin(θ+90°))의 위상차는 항상 90°다. 복소수 표시는 크기=실효값(최대값÷√2), 각도=위상각 그대로라 10sin(314t−π/6) A는 İ = 7.07∠(−30°) = 6.12−j3.54 A다(−30°면 제4사분면, 허수부는 반드시 마이너스).

R-L 직렬 회로의 임피던스는 XL = 2πfL을 먼저 구하고 Z = √(R²+XL²)로 직각 합성한다 — R = 10 Ω, L = 0.045 H, f = 25 Hz면 XL ≈ 7.07 Ω, Z = √150 ≈ 12.25 Ω이며, 이때 전압 140 V는 전류 계산(I = V/Z)용 함정 데이터로 쓰지 않는다. 「같은 크기의 유도·용량 리액턴스」는 XL = XC(공진) 조건의 신호로, 1000 Hz·5 mH면 XL ≈ 31.4 Ω이고 C = 1/(2πfXL) ≈ 5.07 μF이다.

예제

값 변환은 주어진 값이 최대·실효·평균 중 무엇인지 먼저 확인하고 계수(1.57·1.41·0.9)를 곱한다. 시간함수는 「최대치 순간 = 위상 90°」로 θ를 뺄셈 한 번으로 구하고, 복소수는 「크기 실효값, 각도 그대로, −각도면 허수부 음수」로 검산한다. 임피던스 문제에서 전압이 주어져 있으면 무시하는지가 출제 의도다.

대표 기출 3문항

i1=Imsinwt[A]와 i2=Imcoswt[A]인 두 교류 전류의 위상차는 몇 도인가?

  1. 0°
  2. 30°
  3. 60°
  4. 90°
정답과 해설 보기

정답 ④ · i2=Imcos⁡ωt=Imsin⁡(ωt+90°)i_2=I_m\cos\omega t=I_m\sin(\omega t+90°)이므로 i1=Imsin⁡ωti_1=I_m\sin\omega t에 대해 i2i_2는 위상이 90도 앞선다. 두 파형의 위상차는 부호와 무관하게 크기로 90도이다.

cosωt = sin(ωt+90°)이므로 sin과 cos의 위상차는 항상 90°이다.

1000Hz인 정현파 교류에서 5mH인 유도 리액턴스와 같은 용량 리액턴스를 갖는 C의 값은 약 몇 ㎌인가?

  1. 4.07
  2. 5.07
  3. 6.07
  4. 7.07
정답과 해설 보기

정답 ② · f=1000Hzf=1000\text{Hz}에서 유도 리액턴스는 XL=2πfL=2π×1000×5×10−3≈31.42ΩX_L=2\pi fL=2\pi\times1000\times5\times10^{-3}\approx31.42Ω이다. 이 값과 같은 용량 리액턴스를 갖는 CC는 XL=XC=12πfCX_L=X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}에서 C=12πfXL=12π×1000×31.42≈5.07×10−6F=5.07㎌C=\dfrac{1}{2\pi f X_L}=\dfrac{1}{2\pi\times1000\times31.42}\approx5.07\times10^{-6}\text{F}=5.07\text{㎌}이다.

XL=XC 조건에서 C=1/(2πfXL)=1/(ω²L)≈5.07㎌이다.

t=3 [ms]t=3\,[\text{ms}]에서 최대치 5 [V]5\,[\text{V}]에 도달하는 60 [Hz]60\,[\text{Hz}]의 정현파 전압 e(t)e(t)를 시간함수로 표시하면 어떻게 되는가?

  1. e=5sin(376.8t+25.2°)[V]
  2. e=5sin(376.8t+35.2°)[V]
  3. e=5√2sin(376.8t+25.2°[V]
  4. e= 5√2sin(376.8t+35.2°)[V]
정답과 해설 보기

정답 ① · 각주파수 ω=2πf=2π×60=376.8 [rad/s]\omega=2\pi f = 2\pi\times60=376.8\,[\text{rad/s}] t=3 mst=3\,\text{ms}에서 최댓값(위상각 90°90°)에 도달하므로 ωt+θ=90°\omega t + \theta = 90° θ=90°−ωt=90°−376.8×0.003 [rad]=90°−64.8°=25.2°\theta = 90° - \omega t = 90° - 376.8\times0.003\,[\text{rad}] = 90°-64.8° = 25.2° 문제에서 "최대치 5V"라고 주어졌으므로 진폭은 그대로 55를 사용한다(실효값이 아님). e(t)=5sin⁡(376.8t+25.2°) [V]e(t) = 5\sin(376.8t+25.2°)\,[\text{V}] 오답 소거: 실효값 표현인 525\sqrt{2}를 쓰는 보기는 문제에서 이미 최대치를 줬으므로 불필요한 변환이라 제외한다.

최대치 조건 ωt+θ=90° → θ=90°−64.8°=25.2°, 진폭은 최대치 5 그대로 사용.

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자주 묻는 물음

정현파에서 최대값·실효값·평균값의 관계는 어떻게 되나요?
최대 : 실효 : 평균 = 1.414 : 1 : 0.9입니다. 평균값은 최대값의 2/π(≈0.637)배, 실효값은 최대값의 1/√2(≈0.707)배이고, 평균값은 항상 실효값보다 작습니다.
t=3 ms에서 최대치 5 V에 도달하는 60 Hz 정현파는 어떻게 표시하나요?
e = 5sin(376.8t+25.2°) V입니다. 최대치가 되려면 위상각이 90°여야 하므로 θ = 90°−ωt = 90°−64.8° = 25.2°이고, 진폭은 최대치로 주어진 5를 그대로 씁니다.
구형파의 파고율은 얼마인가요?
1.0입니다. 파고율은 최대값÷실효값인데 구형파는 매 순간 크기가 일정해 두 값이 같습니다. 정현파는 1.414, 삼각파는 1.732입니다.
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