개념 한 쪽
전기산업기사 전기영상법 — 영상전하·흡인력·거리 2d 계산
전기영상법은 도체 표면이 등전위면이 되도록 도체 반대편 대칭 위치에 가상의 영상전하를 놓아 전계와 힘을 계산하는 방법이다. 영상전하의 부호·크기와 거리 2d가 출제 포인트다.
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뜻
무한 평면도체 앞의 점전하 Q에 대한 영상전하는 도체를 거울로 삼아 대칭 위치에 놓는 크기가 같고 부호가 반대인 전하다(+Q의 영상전하는 −Q). 두 전하의 전위가 평면 위 모든 점에서 상쇄되어 도체 표면이 전위 0의 등전위면이 되기 때문이다. 크기가 다르거나 부호가 같으면 이 경계조건이 깨진다. 접지된 구도체의 영상전하는 Q' = −(a/d)Q로 크기까지 달라지지만 부호는 항상 반대다. 접지 도체는 점전하와 항상 반대 부호의 영상전하를 유도하므로 점전하가 +이든 −이든, 거리와 무관하게 작용력은 항상 흡인력이다(절연 도체라면 전하량에 따라 흡인·반반이 달라진다).
힘의 계산에서 핵심은 실제 전하와 영상전하 사이 거리가 도체까지 거리 d가 아니라 2d라는 점이다. 무한 평면도체에서 1 m 떨어진 1 C 점전하가 받는 힘은 F = 9×10⁹·Q²/(2d)² = 9×10⁹/4 = 9/4×10⁹ N이다. 대지면에서 높이 h로 가선된 대단히 긴 평행 도선(선전하 밀도 λ)은 지면 아래 −h에 −λ의 영상 선전하를 두면 되는데, 무한히 긴 두 평행 선전하 사이의 단위길이당 힘은 F = λ₁λ₂/(2πε₀d)에 거리 2h를 대입해 F = λ²/(4πε₀h), 즉 h에 반비례한다. 정전력이 중력과 같아지는 조건은 F = Q²/{4πε₀(2d)²} = mg로 두고 Q = √(4πε₀(2d)²mg)로 잰다(질량 10⁻³ kg, d = 2×10⁻² m이면 Q ≈ 4.2×10⁻⁸ C).
예제
영상법 문제는 「거리는 항상 2d」 확인이 전부다. 2d 대신 d를 쓰면 답이 약 2배 어긋나는 대표 함정이다. 점전하는 1/d²(쿨롱), 선전하는 1/d로 반비례한다는 차이도 묻는다. 벡터 각도 cosθ = A·B/(|A||B|)처럼 내적 계산이 곁들여 나오기도 한다(A = −7i−j, B = −3i−4j이면 내적 25, |A| = √50, |B| = 5, cosθ = 1/√2, θ = 45°).
자주 묻는 물음
- 무한 평면도체에 대한 영상전하는 무엇인가요?
- 대칭 위치에 크기가 같고 부호가 반대인 전하이다(+Q → −Q). 두 전하의 전위가 도체 표면에서 상쇄되어 전위 0의 등전위면이 되도록 하는 값이며, 크기가 다르면 조건이 깨진다.
- 접지 도체와 점전하 사이의 힘은 어느 방향인가요?
- 항상 흡인력이다. 접지 도체는 점전하와 항상 반대 부호의 영상전하를 유도하므로 점전하의 부호나 거리에 관계없이 잡아당긴다. 반발력이나 「조건에 따라 다르다」는 선지는 절연 도체와의 혼동이다.
- 영상법으로 힘을 구할 때 거리는 어떻게 잡나요?
- 실제 전하와 영상전하는 도체 표면을 사이에 두고 대칭이므로 거리는 2d이다. 점전하는 F = 9×10⁹Q²/(2d)², 대지 위 높이 h의 선전하는 F = λ²/(4πε₀h)(h에 반비례)로 계산한다.
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