단면적이 10cm²인 봉을 30℃에서 수직으로 매달고 10℃로 냉각하였을 때 원래의 길이를 유지하려면 봉의 하단에 몇 kN 의 하중을 가하면 되는가? (단, 탄성계수 E = 200 GPa, 선팽창계수 α=1.2x10⁻⁵ )
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정답과 해설 보기
정답 ④ · 온도가 30℃에서 10℃로 하강하면 봉은 수축하려 한다. 원래 길이를 유지하려면 온도 변화에 의한 수축량을 인장력으로 보상해야 한다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 부정정 문제 — 열변형과 인장 변형의 균형
온도 변화로 인한 길이 변화와 외부 하중에 의한 길이 변화가 서로 균형을 이루는 문제는 부정정 문제 유형으로 출제된다는 점을 이해해야 한다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「부정정 문제」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 온도변화 보상 인장력 산정 | 1 | 온도 하강에 대해 원래 길이 유지에 필요한 인장력을 계산하기 |
| 열수축과 인장 평형 계산 | 1 | 냉각에 의한 수축량과 인장에 의한 신장량을 같게 놓고 하중을 구하기 |
| 자중에 의한 처짐 계산 | 1 | 수직 매달린 봉의 자중으로 인한 늘어남을 공식에 대입해 구하기 |
뜻
냉각이나 가열에 의해 봉이 길이 변화를 일으키려 할 때, 외부에서 가하는 인장력이나 지지 조건으로 그 변위를 억제하면 내부에 열응력이 생긴다. 이 경우 열에 의한 수축·팽창 변위와 기계적 인장·압축 변위가 같아지는 평형 상태를 이용하여 필요한 하중을 산정한다는 개념을 적용한다.
온도 변화에 의한 자유 수축량은 δ_T = α·L·ΔT로 계산하며, 인장에 의한 신장량은 δ_P = P·L/(A·E)로 계산한다는 점을 이용한다. 두 변위를 같게 놓으면 P = E·A·α·ΔT의 간단한 형태로 정리할 수 있으며, 이를 통해 요구되는 인장력이나 응력을 빠르게 구할 수 있다.
훅의 법칙 δ = P·L/(A·E)와 응력-변형률 관계 σ = E·ε를 병행하여 사용하면 응력, 변형률, 저장된 탄성에너지 등의 물리량을 연쇄적으로 구할 수 있다. 탄성에너지 U는 U = 1/2·P·δ의 관계를 사용하여 하중과 변형량으로부터 계산한다는 점을 기억해야 한다.
단면적과 단위 길이당 자중을 고려하면 자중에 의한 처짐 계산식 δ = ω·L²/(2·A·E)와 같은 형태를 사용하여 자중으로 발생하는 추가 변형을 평가할 수 있다.
예제
예1) 단면적 A=10cm², E=200GPa, α=1.2×10⁻⁵/℃, 온도 하강 ΔT=20℃인 봉에 대해 원래 길이를 유지하려면 필요한 인장력 P는 P = E·A·α·ΔT로 계산한다는 방식으로 풀이한다. 수치를 대입하면 P = 200×10⁹ × 10×10⁻⁴ × 1.2×10⁻⁵ × 20 = 48,000N 즉 48kN이 되어 조건을 만족하는 하중은 48kN이라고 판단한다.
예2) 냉각에 의한 수축량 δ_T와 인장에 의한 신장량 δ_P를 등치시켜 δ_T = δ_P 형태로 풀면, δ_T = α·L·ΔT, δ_P = P·L/(A·E)이므로 P = E·A·α·ΔT가 도출됨을 보여준다. 이 방법은 온도 변화 보상형 부정정 문제에서 반복적으로 활용한다.
대표 기출 3문항
단면적이 5 cm², 길이가 60 cm인 연강봉을 천장에 매달고 20 ℃에서 0 ℃로 냉각시킬때 길이의 변화를 없게하려면 봉의 끝에 몇 kN의 추를 달아 주어야 하는가 ? (단, E=200 GPa, α =12x10⁻⁶/℃, 봉의 자중은 무시)
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정답과 해설 보기
정답 ② · 온도가 내려가며 수축하려는 봉의 변형을 추의 인장력이 상쇄하도록 필요한 하중을 구하는 문제이다. 열응력 σ = EαΔT = 200×10⁹ Pa × 12×10⁻⁶/℃ × 20℃ = 48 MPa이 된다.
지름 6 mm인 강철선 150 m가 수직으로 매달려 있을 때 자중에 의한 처짐량은 몇 mm 인가? (단, E = 200 GPa, 강철선의 비중량은 7.7×10⁴ N/m³)
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정답과 해설 보기
정답 ④ · 균일한 단면을 가진 봉이 자중에 의해 수직으로 매달려 있을 때의 최대 처짐량(늘어남)은 δ = ωL² / (2AE) 입니다. 여기서 ω는 단위 길이당 중량, L은 길이, A는 단면적, E는 탄성계수입니다.
자중 처짐 공식 δ=ωL²/2AE에 단면적과 단위 길이당 하중을 대입하여 계산하면 정답을 구할 수 있다.
자주 묻는 물음
- 열응력으로부터 요구되는 인장력을 어떻게 빠르게 구하나?
- 열응력 계산에서 P = E·A·α·ΔT 공식을 사용하면 인장력을 곧바로 얻는다고 설명한다.
- 봉의 자중 때문에 추가 변형이 발생하면 어떻게 반영하나?
- 자중이 문제에 포함되면 단위 길이당 하중 ω를 구하여 자중 처짐식 δ = ω·L²/(2·A·E)로 계산하여 전체 변형에 합산하는 방식으로 처리한다고 안내한다.
- 저장된 탄성에너지는 어떻게 구하나?
- 저장된 탄성에너지는 U = 1/2·P·δ 공식을 사용하고, 하중 P는 훅의 법칙 P = A·E·δ/L로 먼저 구한 뒤 에너지 식에 대입하여 계산한다고 설명한다.
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