개념 한 쪽
보의 굽힘설계는 하중에서 발생하는 모멘트와 단면이 이를 견디는 능력의 연계로 판단한다. 모멘트에 따른 굽힘응력은 단면계수 Z로 환산하고, 처짐은 탄성계수 E와 단면 2차모멘트 I로 결정한다. 문제 해결은 모멘트식, 단면계수·2차모멘트 공식, 처짐식을 단계적으로 적용하는 흐름으로 이루어진다.
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출제기준 단원 「전단공식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 분포하중 허용하중 산정 | 1 | 단면계수와 M=wL²/8로 분포하중을 구하는 방법을 묻는다 |
| 외팔보 단면치수 계산 | 1 | 외팔보 M=PL과 Z=bh²/6을 이용해 폭을 구하는 절차를 묻는다 |
| 중앙처짐으로 하중역산 | 1 | δ=PL³/48EI를 변형해 집중하중을 구하는 방법을 묻는다 |
균일분포하중이 작용하는 단순보의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 공식을 따른다. 여기서 w는 단위길이당 하중, L은 보의 길이이며 이 관계를 이용해 분포하중이나 모멘트를 역산할 수 있다. 외팔보나 양단 고정 보 등 지지조건에 따라 모멘트 계수는 달라지므로 지지조건을 먼저 확인해야 한다.
굽힘응력은 σ = M / Z로 표현하며, 직사각형 단면의 단면계수는 Z = bh²/6, 단면 2차모멘트는 I = bh³/12 공식을 사용한다. 따라서 같은 단면치수라도 높이 h가 제곱 또는 세제곱으로 영향을 주므로 치수 변경 시 단면계수와 2차모멘트 변화를 반드시 계산해야 한다.
처짐량은 하중형태와 지지조건에 따라 다른 공식을 사용한다. 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐은 δ = PL³/48EI이고, 단순보 전장 등분포하중에 대한 최대 처짐은 δ = 5wL⁴/384EI 공식을 따른다. 처짐 계산에서는 모든 치수와 탄성계수 단위를 SI로 통일해야 계산 오류를 피할 수 있다.
보의 지지조건별 모멘트 계수 예시는 외팔보의 최대모멘트 M = PL, 양단 고정 중앙하중의 최대모멘트 M = PL/8 등으로 요약된다. 이들을 σ = M/Z와 연결하면 허용응력 조건에서 허용하중이나 필요한 단면치수를 계산할 수 있다.
예1 — 분포하중 역산: 길이 L=2.4m, 직사각형 단면 b×h=12cm×15cm, 허용응력 σa=48MPa인 단순보에서 허용 가능한 균일분포하중 w를 구한다. 직사각형 단면계수 Z = bh²/6 = 12×15²/6 = 450 cm³ = 4.5×10⁻⁴ m³이다. 허용모멘트 M = σa·Z = 48×10⁶ Pa × 4.5×10⁻⁴ m³ = 21,600 N·m이다. M = wL²/8에서 w = 8M/L² = 8×21,600/(2.4²) = 30,000 N/m = 30 kN/m로 구한다.
예2 — 중앙 집중하중의 처짐역산: 단면 b×h=4cm×6cm, L=2m, E=200GPa, 최대처짐 δ=0.5cm인 단순보에서 중앙 집중하중 P를 구한다. 단면 2차모멘트 I = bh³/12 = 0.04×0.06³/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다. 처짐식 δ = PL³/48EI를 P에 대해 정리하면 P = 48EIδ/L³이다. 값 대입 시 P ≈ 4,320 N이 된다.
두 예제에서 공통적으로 단위 통일(예: cm→m, GPa→Pa)과 공식을 순서대로 적용하는 절차가 핵심이라는 점을 확인한다.
길이 240cm, 단면의 폭x높이 = 12cmx15cm의 단순보가 ω kN/m의 균일분포하중을 받고 있다. 이보의 허용굽힘응력 σ a = 48 MPa일 때 허용할 수 있는 분포하중의 최대값은?
정답 ② · 단순보가 균일분포하중을 받을 때의 최대 굽힘모멘트는 Mmax = wL²/8 입니다. 보의 길이 L = 240cm = 2.4m 이고, 단면의 폭 b=12cm, 높이 h=15cm 이므로 단면계수 Z = b×h²/6 = (12 × 15²) / 6 = 450 cm³ = 4.5 × 10^-4 m³ 입니다.
단순보의 최대 굽힘모멘트 wL²/8과 허용응력 σ=M/Z 공식을 연계하여 분포하중 w를 구한다.
길이 2m의 외팔보의 자유단에 5kN의 집중하중이 작용하고 있다. 허용응력이 100MPa이라면 높이 10cm의 사각형 단면에서 폭은?
정답 ① · 외팔보 자유단의 집중하중에 의한 최대 굽힘 모멘트는 M = P × L = 5kN × 2m = 10 kN·m 입니다. 사각형 단면의 단면계수 Z = b*h² / 6 이며, 허용 응력 σ = M / Z 입니다.
외팔보 최대굽힘모멘트 M=PL, 허용응력 σ=M/Z 공식을 이용해 단면계수 Z를 구하고 사각형 Z=bh²/6으로 폭 b를 계산한다.
단면[폭×높이]이 4cm×6cm이고 길이가 2m인 단순보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 최대처짐이 0.5cm라면 집중하중은 몇 N인가? (단, 탄성계수 E=200GPa이다.)
정답 ④ · 단순보 중앙 집중하중에 대한 최대 처짐 공식을 이용해 하중을 역산하는 문제이다. 먼저 단면 2차 모멘트를 구하면 I = bh³/12 = (0.04×0.06³)/12 = 7.2×10⁻⁷ m⁴이다.
단순보 중앙 집중하중 처짐 공식 δ=PL³/48EI에 모든 단위를 SI 단위로 통일하여 대입하면 하중 P를 구할 수 있다.
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