개념 한 쪽
토목기사 모멘트 — 바리뇽 정리와 곡률 R=EI/M·단면 성질
모멘트 세트는 힘의 모멘트 합성 원리와 휨모멘트가 만드는 변형, 단면의 기하학적 성질을 함께 묻는다. 합력의 모멘트는 각 힘의 모멘트 합과 같고(Varignon), 휨모멘트 M을 받는 보의 처짐곡선 곡률반지름은 R=EI/M이다.
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뜻
모멘트 합성은 이름으로 묻는다. 동일평면상의 한 점에 여러 힘이 작용할 때 어떤 점에 대한 각 힘의 모멘트 합은 그 합력의 같은 점에 대한 모멘트와 같고, 이를 Varignon의 정리라 한다. 같은 세트에는 두 힘의 합력을 코사인 법칙으로 구하는 문항도 있어, F1=10t·F2=12t이 45°면 약 20.3t가 된다.
휨모멘트는 곡률로 나타난다. 곡률반지름은 R=EI/M이다. 폭 20cm·높이 30cm 직사각형 단면은 I=bh³/12=45,000cm⁴이고, 최대 휨모멘트 2tonf·m는 200,000kgf·cm, E=100,000kgf/cm²이므로 R=22,500cm, 곧 225m가 된다. 계산 결과가 cm로 나오면 m로 바꾸는 단계를 빠뜨리지 않아야 한다.
단면의 기하학적 성질에서는 평행축의 정리가 기준이 된다. 도심축에서 멀어질수록 단면 2차모멘트는 커지므로 도심축에 대한 값이 가장 작다. 단면 1차 모멘트 Q=∫ydA는 차원이 [L³]이라 단면계수 Z=I/y와 차원이 같고, 회전반경 [L]·단면 2차모멘트 [L⁴]와 구분한다. 단면계수와 단면 2차모멘트는 정의상 항상 양수지만, 단면 상승 모멘트는 부(-)의 값도 가질 수 있다.
비틀림과 에너지 계산도 같은 세트에 나온다. 같은 크기의 비틀림 모멘트를 받는 중실축과 중공축(안쪽 반지름 0.6r)의 최대 전단응력 비는 극관성모멘트의 역수 관계로 구한다 — 중공축 J는 중실축의 약 0.8704배이므로 전단응력비(중공축÷중실축)는 약 1.15가 된다. 길이 L인 켄틸레버보 선단에 집중하중 P가 작용할 때 굽힘 탄성변형에너지는 U=∫(M²/2EI)dx 적분으로 구한다. 집중하중이 단순보 위를 지나갈 때 최대 전단력은 하중이 지점 바로 위에 있을 때, 최대 휨모멘트는 중앙에서 PL/4로 생긴다.
예제
출제 패턴은 네 가지다. ① 정리 맞추기 — 모멘트 합성에 Mohr·Lami를 붙인 선지가 오답이다. ② 곡률반지름 계산 — I 계산이나 단위 환산(cm→m)을 빠뜨린 값이 오답이다. ③ 단면 성질 판별 — 도심축 값을 최대로 뒤집거나, 항상 양수인 값에 부호를 붙인 선지가 오답이다. ④ 부호 특성 — 정·부의 값을 모두 갖는 것은 단면 상승 모멘트이고, 단면계수·2차모멘트·2차면적모멘트는 그렇지 않다.
자주 묻는 물음
- 휨모멘트와 처짐곡선의 곡률반지름은 어떤 관계인가요?
- R=EI/M입니다. 폭 20cm·높이 30cm 단면(I=45,000cm⁴)에 최대 휨모멘트 2tonf·m(200,000kgf·cm), E=100,000kgf/cm²를 넣으면 22,500cm, 곧 225m가 됩니다. cm로 나온 값을 m로 환산하지 않으면 오답이 됩니다.
- 단면 1차 모멘트와 같은 차원을 갖는 값은 무엇인가요?
- 단면계수입니다. 단면 1차 모멘트는 면적×거리로 차원이 [L³]이고, 단면계수도 I/y이므로 [L³]입니다. 회전반경은 [L], 단면 2차모멘트는 [L⁴]이라 차원이 다릅니다.
- 단순보 위를 집중하중이 지나갈 때 최대 전단력과 최대 휨모멘트는 어디에서 생기나요?
- 최대 전단력은 하중이 지점 바로 위에 있을 때, 최대 휨모멘트는 하중이 보 중앙에 있을 때 PL/4로 생깁니다. 두 값의 발생 위치를 바꿔 놓은 선지가 단골 오답입니다.
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