개념 한 쪽
2차계 시스템은 감쇠계수에 따라 무감쇠·감쇠진동·임계감쇠·과감쇠로 나뉘며 과도응답 지표인 상승시간과 피크 등이 정의되는 동특성을 보인다고 정리한다.
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출제기준 단원 「2차계의 전달함수」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 1차계 주파수 응답 특성 판단 | 1 | 1차계가 사인파 입력에서 고주파를 어떻게 감쇠하는지 판단한다 |
| 1차계 램프 입력 정상상태 오차 계산 | 1 | 1차계의 램프 입력에 대한 정상상태 오차를 시간상수와 기울기로 계산한다 |
| 1차계 단위계단 응답 주요 시점 계산 | 1 | t=2τ에서의 단위계단 응답 퍼센트를 계산하여 선택한다 |
2차계의 동특성은 제동비(감쇠계수) ζ에 의해 결정된다고 한다. ζ가 0이면 무감쇠로 자연진동이 지속되어 에너지 손실이 없다고 한다. ζ가 0보다 크고 1보다 작으면 과소감쇠로 진동하며 최종값으로 수렴한다고 한다. ζ가 1이면 임계감쇠로 진동 없이 가장 빠르게 안정화된다고 한다. ζ가 1보다 크면 과감쇠로 진동 없이 느리게 안정화된다고 한다.
과도응답 지표는 상승시간, 피크시간, 최대 오버슈트 등으로 구분된다고 한다. 상승시간은 응답이 최종 정상값에 처음으로 도달하는 시간으로 정의한다고 한다. 피크시간은 응답이 처음으로 극댓값에 도달하는 시간이며 이때 미분값이 0이 되는 점과 대응된다고 한다. 이 정의들을 정확히 구분하는 것이 문제 해결의 핵심이라고 한다.
2차계와 관련된 기본 물리계의 미분 차수 대응은 명확하다고 한다. 예를 들어 스프링-질량-댐퍼 계에서는 2차 미분항이 관성력(ma)에 대응하고 1차 미분항이 감쇠력(댐퍼에 비례)에 대응한다고 한다. 이러한 물리적 대응은 전달함수의 차수와 시스템의 동적 성질을 이해하는 데 도움이 된다고 한다.
수치적 예시는 문제 유형에서 자주 사용된다고 한다. 1차계와 2차계 문제에서 시간상수나 주요 비율을 기억해 두면 계산 시간을 줄일 수 있다고 한다. 특히 1차계 응답의 주요 포인트(τ→63.2%, 2τ→86.5%, 3τ→95%)는 관련 문제 풀이에 유용하다고 한다.
예 1 — 2차계 감쇄분류 설명 예시를 제시한다. 제동비 ζ가 0이면 무감쇠로 자연진동이 유지된다고 한다. ζ가 0<ζ<1이면 감쇠진동으로 진동하면서 점차 안정화된다고 한다. ζ≥1이면 진동 없이 안정화된다고 한다.
예 2 — 1차계 응답의 대표 계산 예시를 제시한다. 1차계 단위계단응답 y(t)=1-e^(-t/τ)에 t=2τ를 대입하면 y(2τ)=1-e^(-2)≈0.865로 약 86.5%가 됨을 보인다고 한다.
일차계 공정에 사인파 입력이 들어갔을 때 시간이 충분히 지난 후의 출력은?
정답 ① · 문제는 1차 계공정에 사인파 입력을 장시간 인가했을 때 주파수에 따른 출력 진폭 거동을 묻는다. 1차 계의 주파수 응답 이득은 1/√(1+(ωτ)^2)이므로 입력 주파수가 커질수록 출력 진폭은 감소한다.
저역통과필터 특성을 가진 1차 계정은 주파수 증가 시 이득이 감소하여 출력이 작아진다.
어떤 항온조에서 항온조 내의 온도계가 나타내는 온도와 항온조 내의 실제 유체온도 사이의 관계는 이득이 1인 1차계로 나타낼 수 있으며 이때 시간상수는 0.2min이다. 평형상태에 도달한 후 항온조의 유체온도가 1℃/min의 속도로 평형상태의 값에서 시간에 따라 선형적으로 증가하기 시작하였다. 이 경우 1min경과 후 온도계의 온도와 항온조 내 실제 유체온도 사이의 온도차는 얼마인가?
정답 ① · 1차계 전달함수 G(s)=1/(τs+1)에 기울기가 'r'인 램프 입력(ramp input)이 가해질 때, 정상 상태에서의 오차(steady-state error)는 시간상수와 기울기의 곱인 'τ × r'이 됩니다. 문제에서 시간상수 τ = 0.2min이고, 유체 온도의 증가 속도 r = 1℃/min이므로 온도계가 나타내는 온도와 실제 온도 사이의 정상상태 편차(차이)는 0.2 × 1 = 0.2℃가 됩니다.
1차계 램프 입력 정상상태 오차는 시간상수와 입력 기울기의 곱이므로 0.2×1=0.2℃이다.
1차계의 단위계단응답에서 시간 t 가 2τ 일 때 퍼센트 응답은 약 얼마인가? (단, τ 는 1차계의 시간상수이다.)
정답 ③ · 문제는 1차 계(시간상수 τ)의 단위 계단 응답에서 t=2τ일 때 응답 백분율을 묻고 있다. 1차계의 단위 계단 응답식은 y(t)=1−e^(−t/τ)이며 t=2τ를 대입하면 y=1−e^(−2)≈0.865로 약 86.5%가 된다.
1차계의 단위 계단 응답에서 t=2τ일 때 응답값은 1-e^(-2)≈0.865이므로, 약 86.5%이다.
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